Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beiträge zur Inversionsgeometrie III.

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also die Zuwachsgrößen der Differentialquotienten x1} yx, x2, y2 .
nach dem Eigenparameter, aus den Formeln

_ dX _d I y _ dX^ „ _dYx
l~'dt’ 2~ dt’ 2~ dt

usw.

2. Die Eigengruppe eines Elementes. Wenn bei einer
w-gliedrigen Gruppe eine eingliedrige Untergruppe durch Wahl eines
Elementes (n—1) der Ordnung bestimmt ist, von dem eine Bahnkurve
ausgeht, so wollen wir diese Untergruppe die Eigengruppe des
Elementes nennen. So ist z. B. bei ebenen Bewegungen die Eigen-
gruppe eines Krümmungselementes die Gesamtheit der Drehungen um
den Mittelpunkt des Kreises, dem das Element angehört.
Man findet dann die Eigengruppe eines Elementes durch Auf-
lösung der Gleichungen
X = aq, 1 = y^, X4 = x2, ^1 = y2 ...
Wir wollen dies ausführen für die spezielle lineare Gruppe der
Ebene, die Gruppe der „Affingeometrie“ mit den fünf erzeugenden in-
finitesimalen Transformationen
X : 1, 0, y, 0, x
Y: 0, 1, 0, x, —y
und dem durch .
^2 - dl^2 = 1
festgelegten Affinparameter t.

Die Eigengruppe des Elementes (x, y, xlf yr', x2, y2, x2, y3)
al ^1 (/*) + a2^2.(/”)4_ a3^3(/*)+<Z4^4(/') + a5^5(/")
wird hier durch Auflösung der sechs Gleichungen


zu berechnen sein.

+ <%y
+ a5^ =
= x =
— X^}
+ a4x -a6y =
= Y =
= yv
a3^1
T a5Xy =
= x1 =
=
«4^1 — «52/1 =
= 2/2,
a3?/2
+ «5#2 =
=^2=
=
a4^2 aöd2 ~
= y2 =
= 2/3

Den bei dieser Untergruppe festbleibenden „Affindrehpunkt“ (x, y)
bestimmt man, nachdem die a berechnet sind, aus
ai + «3^ + = 0,
a2 + a4ä — a5y = 0
und erhalt