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https://doi.org/10.11588/diglit.43568#0007
Beiträge zur Inversionsgeometrie 111.
7
Tr = o sin t t1
T2= p(sin t (l+r2) + cos t.tI)
T3=^(sin r (Tj-^Ta^-^ + Tg-r^+cos r(2rx + 3rxt2))
und bei der sechsten
Ty=~ Q COS T Ty
T2 = (>(—cos T(l+T2) + sin r.rf)
^3= ?(- cos + ti_1 + t3 -ti) + sin T (2v1 + 3r1 r2)).
Hieraus erhält man zur Bestimmung der niedrigsten Differential-
invariante das leicht zu integrierende vollständige System
mit der Lösung
Diese Invariante ist die Inversionskrümmung.1)
Bei der logarithmischen Spirale
z
r = a e x
ist
ist d o ds
also cp — tx~" 2,
und die Inversionskrümmung wird
Es haben also die logarithmischen Spiralen und die aus ihnen
durch Inversion hervorgehenden Isogonaltrajektorien orthogonaler Kreis-
büschel (Loxodromen) konstantes J?)
2) Bei dieser Gruppe von Punkttransformationen ist ein und dieselbe
Kurvenart, nämlich die Loxodromen, durch drei Eigenschaften ausgezeichnet.
Sie sind die Bahnkurven der eingliedrigen Untergruppen, die Extremalen des
Variationsproblems und die Kurven konstanter „Krümmung“. Dasselbe gilt für
die Lagubrresehe Gruppe der „Transformations par directions recproques“
(Fano a. a. 0. Nr. 14), die ebenfalls Kreise — nicht als Punktorte, sondern als
Stützkurven von Geraden aufgefaßt — in Kreise überführt. Hier vereinigt die
sechsgliedrige Kurvenschar der Kreisevolventen und der aus ihnen durch die
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Tr = o sin t t1
T2= p(sin t (l+r2) + cos t.tI)
T3=^(sin r (Tj-^Ta^-^ + Tg-r^+cos r(2rx + 3rxt2))
und bei der sechsten
Ty=~ Q COS T Ty
T2 = (>(—cos T(l+T2) + sin r.rf)
^3= ?(- cos + ti_1 + t3 -ti) + sin T (2v1 + 3r1 r2)).
Hieraus erhält man zur Bestimmung der niedrigsten Differential-
invariante das leicht zu integrierende vollständige System
mit der Lösung
Diese Invariante ist die Inversionskrümmung.1)
Bei der logarithmischen Spirale
z
r = a e x
ist
ist d o ds
also cp — tx~" 2,
und die Inversionskrümmung wird
Es haben also die logarithmischen Spiralen und die aus ihnen
durch Inversion hervorgehenden Isogonaltrajektorien orthogonaler Kreis-
büschel (Loxodromen) konstantes J?)
2) Bei dieser Gruppe von Punkttransformationen ist ein und dieselbe
Kurvenart, nämlich die Loxodromen, durch drei Eigenschaften ausgezeichnet.
Sie sind die Bahnkurven der eingliedrigen Untergruppen, die Extremalen des
Variationsproblems und die Kurven konstanter „Krümmung“. Dasselbe gilt für
die Lagubrresehe Gruppe der „Transformations par directions recproques“
(Fano a. a. 0. Nr. 14), die ebenfalls Kreise — nicht als Punktorte, sondern als
Stützkurven von Geraden aufgefaßt — in Kreise überführt. Hier vereinigt die
sechsgliedrige Kurvenschar der Kreisevolventen und der aus ihnen durch die