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https://doi.org/10.11588/diglit.43568#0009
Beiträge zur Inversionsgeometrie III
9
Dieser Punkt M — eine Art Gegenstück zum Krümrnungsmittelpunkt
eines Krümmungselementes oder auch zum Affindrehpunkt eines Affin-
elementes (§ 1, Nr. 2) — liegt bei Loxodromen fest, bei logarith-
mischen Spiralen ist es der unendlich ferne Punkt der Ebene.
Man wird so von selbst auf die Frage geführt: Für welche
Kurven liegt der Punkt M (also der Mittelpunkt der Strecke,
die die Nullkreise des elliptischen Büschels verbindet, dessen Kreise
die Kurve in je fünf benachbarten Linienelementen unter gleichem
Winkel treffen) fest, so daß alle Elemente dasselbe M be-
sitzen?
Indem man durch Inversion diesen Punkt ins Unendliche über-
trägt, wird man auf die Bedingungen
«6= «6 = 0,
daher auch
*2 = T3 = 0
geführt, woraus folgt, daß in diesem Fall die Kurve eine logarithmische
Spirale, allgemein eine Loxodrome ist.
Die einzigen Kurven mit festem M sind also die Loxo-
d rom en.
3. Eine Eigenschaft der Lernniskaten. Alle ein Linien-
element enthaltenden Kreise haben ihren Mittelpunkt auf der Geraden,
die das Linienelement senkrecht schneiden. Wir wollen ein Gegenstück
zu dieser einfachen und trivialen Tatsache in der Inversionsgeometrie
suchen. Wir wählen drei Nachbarpunkte auf einer Geraden und
können auch noch fordern, daß die oo1 durch fünf Nachbarpunkte be-
stimmten Loxodromen die Gestalt von Doppelspangen haben, die aus
zwei kongruenten, um den Winkel n gedrehten Teilen bestehen. Es
zeigt sich, daß die Loxodromen dann durch die Gleichungen
/"=e95 d —cotg«)
gegeben sind, a ist konstant, a verschieden für die Loxodromen.
Wir fragen jetzt nach dem geometrischen Ort der asymptotischen
Punkte (<p = + oo), also der Nullkreise der hyperbolischen Büschel,
welche die Lemniskaten jeweils unter konstantem Winkel (a) schneiden.
Man erhält
x-\-iy — ±ae'la |/sin 2a
oder durch Elimination von a
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Dieser Punkt M — eine Art Gegenstück zum Krümrnungsmittelpunkt
eines Krümmungselementes oder auch zum Affindrehpunkt eines Affin-
elementes (§ 1, Nr. 2) — liegt bei Loxodromen fest, bei logarith-
mischen Spiralen ist es der unendlich ferne Punkt der Ebene.
Man wird so von selbst auf die Frage geführt: Für welche
Kurven liegt der Punkt M (also der Mittelpunkt der Strecke,
die die Nullkreise des elliptischen Büschels verbindet, dessen Kreise
die Kurve in je fünf benachbarten Linienelementen unter gleichem
Winkel treffen) fest, so daß alle Elemente dasselbe M be-
sitzen?
Indem man durch Inversion diesen Punkt ins Unendliche über-
trägt, wird man auf die Bedingungen
«6= «6 = 0,
daher auch
*2 = T3 = 0
geführt, woraus folgt, daß in diesem Fall die Kurve eine logarithmische
Spirale, allgemein eine Loxodrome ist.
Die einzigen Kurven mit festem M sind also die Loxo-
d rom en.
3. Eine Eigenschaft der Lernniskaten. Alle ein Linien-
element enthaltenden Kreise haben ihren Mittelpunkt auf der Geraden,
die das Linienelement senkrecht schneiden. Wir wollen ein Gegenstück
zu dieser einfachen und trivialen Tatsache in der Inversionsgeometrie
suchen. Wir wählen drei Nachbarpunkte auf einer Geraden und
können auch noch fordern, daß die oo1 durch fünf Nachbarpunkte be-
stimmten Loxodromen die Gestalt von Doppelspangen haben, die aus
zwei kongruenten, um den Winkel n gedrehten Teilen bestehen. Es
zeigt sich, daß die Loxodromen dann durch die Gleichungen
/"=e95 d —cotg«)
gegeben sind, a ist konstant, a verschieden für die Loxodromen.
Wir fragen jetzt nach dem geometrischen Ort der asymptotischen
Punkte (<p = + oo), also der Nullkreise der hyperbolischen Büschel,
welche die Lemniskaten jeweils unter konstantem Winkel (a) schneiden.
Man erhält
x-\-iy — ±ae'la |/sin 2a
oder durch Elimination von a