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https://doi.org/10.11588/diglit.43568#0012
12
Heinrich Liebmann:
Berechnet man 2112 doppelt; so folgt
/z2 = c -22 (3 22 — «2j) + 2X2 22 + /^22,
und entsprechend bei Doppelberechnung' von 2122
/z1 = e-2^ (—3 + x22) —2X222 + /z2r
Aus /.<2i — Ab2 folgt dann
%e-2; + x(2i2-b>V)-2 2122 = 0.
Neben diese partielle Differentialgleichung erster Ordnung tritt
eine zweite, die man erhält, wenn man einmal nach u und einmal
nach v differenziert, dann 212 eliminiert und schließlich den Wert
2e-2^ von ^n-[-^22 einsetzt. Es kommt dann:
a-’;l{(2-4>«a)IA+^i,(Ii2+l2!,))+IÄ((x2+l)(Ii2+V)-4xZ14))=0
und damit ist die Untersuchung der Verträglichkeit von zwei partiellen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf die von zwei Gleichungen
erster Ordnung zurückgeführt.
Man hat nun noch 2xe^ und 22e^ aufzulösen und wird wieder
durch weitere Differentiation darauf geführt, daß x gleich Null sein
muß und 2, oder 22. Beide Fälle sind grundsätzlich nicht verschieden;
wir werden, zu den ursprünglichen u und v zurückkehrend, fordern,
daß tv von (w-ft?) abhängt.
Dann kommt die Differentialgleichung
.2 ww" — 2 (w')2=c2
zur Bestimmung von w als Funktion von w-f-v, und die Invarianten
werden = i ^_2 (2 ww" (w)2) + 1) = | = J2.
Wir erkennen also: Wenn es überhaupt Minimalflächeu
konstanter Konformkrümmung gibt, dann ist für sie
— J2 — |.
Es ist dann noch die Bestimmung der Minimalflächen, also die In-
tegration der Differentialgleichung für w auszuführen. Mit Unter-
drückung unwesentlicher Integrationskonstanten erhält man die wesent-
lich verschiedenen Lösungen
i / --c2,
1.^=1/ -g-(w + w),
Die erste Form kommt dem Linienelement der LiEschen Fläche
zu, die zweite dem der geraden Schraubenfläche.
Heinrich Liebmann:
Berechnet man 2112 doppelt; so folgt
/z2 = c -22 (3 22 — «2j) + 2X2 22 + /^22,
und entsprechend bei Doppelberechnung' von 2122
/z1 = e-2^ (—3 + x22) —2X222 + /z2r
Aus /.<2i — Ab2 folgt dann
%e-2; + x(2i2-b>V)-2 2122 = 0.
Neben diese partielle Differentialgleichung erster Ordnung tritt
eine zweite, die man erhält, wenn man einmal nach u und einmal
nach v differenziert, dann 212 eliminiert und schließlich den Wert
2e-2^ von ^n-[-^22 einsetzt. Es kommt dann:
a-’;l{(2-4>«a)IA+^i,(Ii2+l2!,))+IÄ((x2+l)(Ii2+V)-4xZ14))=0
und damit ist die Untersuchung der Verträglichkeit von zwei partiellen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf die von zwei Gleichungen
erster Ordnung zurückgeführt.
Man hat nun noch 2xe^ und 22e^ aufzulösen und wird wieder
durch weitere Differentiation darauf geführt, daß x gleich Null sein
muß und 2, oder 22. Beide Fälle sind grundsätzlich nicht verschieden;
wir werden, zu den ursprünglichen u und v zurückkehrend, fordern,
daß tv von (w-ft?) abhängt.
Dann kommt die Differentialgleichung
.2 ww" — 2 (w')2=c2
zur Bestimmung von w als Funktion von w-f-v, und die Invarianten
werden = i ^_2 (2 ww" (w)2) + 1) = | = J2.
Wir erkennen also: Wenn es überhaupt Minimalflächeu
konstanter Konformkrümmung gibt, dann ist für sie
— J2 — |.
Es ist dann noch die Bestimmung der Minimalflächen, also die In-
tegration der Differentialgleichung für w auszuführen. Mit Unter-
drückung unwesentlicher Integrationskonstanten erhält man die wesent-
lich verschiedenen Lösungen
i / --c2,
1.^=1/ -g-(w + w),
Die erste Form kommt dem Linienelement der LiEschen Fläche
zu, die zweite dem der geraden Schraubenfläche.