Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Umkehrung des Variationsprobleras cler ebenen Affingeometrie. 7
Setzt man in der vorletzten Formel die oben berechneten Aus-
drücke ein, so folgt
y< = IsVV - 2</3 F~' F' + 27 ?/2 F-* (F'f
- 12 y2 F'1 F" — 72 y y$ F\
Die EuLERSche Gleichung aber gibt
y« - |.77' ,%2 - 2.</3 F-r F’-i | 9tF-1 F" + 92 y} F^ Fy
~2^ F~ Fy^
und diese Werte können nur dann einander gleich sein, wenn F von yr
frei ist, also
= 0.
Bei der weiteren Rechnung genügt es, die Koeffizienten irgend-
einer Potenz von yz heranzuziehen, z. B. der ersten; es handelt sich ja.
doch nur darum, das Ergebnis
aus notwendigen Bedingungen zu erhalten. Daß diese Form dann
hinreichend ist, um die in Nr. 2 verlangte Forderung zu erfüllen,
wissen wir schon aus Nr. 1.
Durch diese Überlegung sind die an sich umfangreichen Rech-
nungen wesentlich zu vereinfachen.
Man erhält aus der Koeffizientenvergleichung
y. = • • + 15^3 (- J1-2 (W') 2 + F " + y, Fy) + . .
und aus der Euler sehen Gleichung
H = ■ ■ ■ + 8 ft (| F'1 F" + ft F-^ Fy + 2 + • •
und durch Kombination die Forderung
y2 F-1 Fy - 2 F2 (F')2 = 0.
Ersetzt man F durch g~\ so folgt
2 g ~2 (g')2-g _1 g" Fy2g~r gv - 2 g ~2 0')2 = 0.
Es wird also gefordert, daß die nur von x und y abhängige
Funktion g die Bedingung
9 yFJv — 9xx + 2 g-gy + yF gyy FyFJy y% 9y — 0
erfüllt, d. h. es muß sein
Hxx — 9, gxy — 0, gvy — 0