Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Übergang von der nichteuklidischen Strecken-
trigonometrie zur Winkelmessung.

Es sei die Aufgabe gestellt, in der Lobatschefskijsehen Ebene
ohne räumliche Betrachtungen die Beziehungen zwischen den Seiten
und Winkeln eines Dreiecks aufzustellen. Dazu ist notwendig, daß
erst einmal die Funktionen von Strecken mit denen von Winkeln in

Verbindung gebracht werden.


Gegeben sei ganz wie in der euklidischen
Ebene ein Kreis mit dem festen Radius
0B = r und dem beweglichen 0 A, von dessen
Endpunkt A auf 0 B ein Lot gefällt wird.
Es ergibt sich ohne weiteres, daß in dem
entstandenen rechtwinkligen Dreieck der
Sinus eines Winkels nicht einfach gleich
dem Verhältnis von Gegenkathete zur Hypo-
tenuse gesetzt werden kann, denn dann würde
ja sin ip, sobald der Radius über alle Grenzen
wächst, zu Eins werden, was der nichteukli¬

dischen Annahme des spitzen Parallelwinkels widerspräche. Es sind
vielmehr Funktionen der Seiten zu verwenden. Welcher Art diese
Funktionen sind, zeigt die bekannte, von Herrn Liebmann1) ohne Zu-
hilfenahme des Raumes abgeleitete Gleichung:

(1)

sh a 1
sh c ch l ’

Hierbei ist a Kathete, c Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und 7,
das zum Gegenwinkel 2 gehörige Parallellot, das nur von 2 abhängt.
Die linke Seite ist also eine reine Funktion von 2, ihr Wert liegt
offenbar zwischen 0 und 1. Man könnte daher die Gleichung:
' h' - = sin 2 als Definition für die Sinusfunktion eines Winkels auffassen
sh c

und hätte dann zu zeigen, daß dieser Sinus mit der analytisch definierten

Funktion

identisch ist.

l) Vgl. Liebmann, Nichteuklidische Geometrie (Berlin 1923), S. 59.