Jörg Schmalian

Infokasten zum Hagen-Poiseuille-Gesetz:
Wir betrachten das Geschwindigkeitsprofil einer stationären laminaren Flüssigkeit in
einem engen Rohr oder einer Kapillare mit Radius w, Länge / entlang der z-Achse und
Druckdifferenz öp. Dazu lösen wir die linearen und zeitunabhängigen Navier-Stokes-
Gleichungen

dp
äZ =

Bei konstantem Druckgradienten dpi dz = öp/l folgt für radialsymmetrische Geschwin-
1 d / duz\
digkeitsprofile entlang der Rohrachse Auz = — — I r ——I. Die Lösung der resultieren-
den Differentialgleichung mit verschwindender Geschwindigkeit am Rand des Rohrs ist
eine Parabel (siehe Abb. 2)


Abb. 2 Geschwindigkeitsprofil des Poiseuille-Flusses durch eine dünne Röhre.

uz(f) = ^-:(w2 -r2).
4t]L
Integriert man die Geschwindigkeit über die Querschnittsfläche des Rohrs, so erhält
man aus j = nu das Hagen-Poiseuille-Gesetz für den totalen Teilchenstrom

Die vierte Potenz in der Abhängigkeit vom Radius hat wichtige Implikationen. Verrin-
gert man z. B. den Radius unserer Arterien um nur 5 %, so bedarf es einer Erhöhung
des Blutdrucks um fast 23 %, um den gleichen Blutdurchfluss aufrecht zu erhalten.
In elektronischen Systemen kann man einen elektro-chemischen Druck durch
Anlegen einer Spannung V erreichen, also öp — neV. Daraus ergibt sich mit dem elek-
trischen Strom Ie = ei die spezifische elektrische Leitfähigkeit er = e2n2w2 / (16 77). Im
Unterschied zum Ohmschen Verhalten ist er abhängig von Durchmesser des Leiters.
Dieses Verhalten wurde in Rcf [1, 2, 23, 24] zur Bestimmung der Viskosität des Elekt-
ronensystems benutzt. In undotierten Graphen bestimmt der Teilchenstrom nicht den
elektrischen, sondern den Wärmestrom Iq = ’isl/'l mit Energiedichte £ [11, 12] (siehe
Abb. 4). Erzeugt man nun öp durch einen Temperaturgradienten dp / dz = —sdT/ dz
mit Entropiedichte 5, so ergibt sich ein Wärmestrom mit parabolischem Profil sowie eine
-abhängige spezifische thermische Leitfähigkeit K = ssu>2 / (2?y), die die Viskosität der
Elektronen in Graphen bestimmt [13].

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