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https://doi.org/10.11588/diglit.43226#0011
Zur absoluten Geometrie.
II. Mitteilung.
In einer ersten Mitteilung1) — hier als A. zitiert — habe ich die
Bedeutung der quadratischen Form in Punkt-, Ebenen- oder Linien-
koordinaten, die, gleich Null gesetzt, das absolute Gebilde einer Geo-
metrie darstellt, als Maßfunktion für diese Geometrie hervorgehoben
und dabei sog. Normalkoordinaten mit Erfolg benutzt. Auf
Linieh-, Flächen- und Volumenelemente und die durch In-
tegration aus ihnen erzielten Ausdrücke bin ich damals nicht ein-
gegangen. Da ja aber ebenso wie in dem absoluten Gebilde oder in
der Maßfunktion auch in dem Linienelement die ganze Geometrie in
nuce enthalten ist, so ist selbstverständlich letzteres durch jene mit-
bestimmt. Wie einfach sich Linien-, Flächen-, Volumenelement aus
den in A. aufgestellten Formeln ergeben und unmittelbar durch die
Maßfunktion ausdrücken lassen, wird hier gezeigt. Zum Schluß wird
kurz dargetan, wie auch bei Aufstellung der Bewegungsgleichungen
in der absoluten Geometrie die Maßfunktion den Weg zeigt.
Treten auch manche der gegebenen Formeln hier und da in der
Literatur schon auf2), so scheint doch die Einheitlichkeit und zugleich
die Einfachheit ihrer Herleitung aus wenigen Grundformeln in A. noch
nicht beachtet worden zu sein. Alle Formeln sind so gestaltet, daß
sie für e = 0 unmittelbar die der Euklidischen Geometrie liefern.
x) Diese Sitz.-Ber. Math.-nat. Klasse. Abteilung A. Jahrg. 1924. 4. Ab-
handlung. Dort ist S. 3 letzte Zeile hinter „Ebenen“ einzufügen: solange die
Koordinaten der reellen Elemente reell gewählt sind,“. — S. 5 nach Formel (12)
ist einzuschalten: „ein Punkt X und eine Ebene w, wenn : u2: u3 : == s :
ex2 : ex3 : rr4 oder :x2: x3 : ®4 — uz : u2 : u3 : sw4“. — S. 6 in Formel (13) ist das
erste Glied mit s zu multiplizieren und im zweiten Glied demgemäß der Faktor
von e mit dem von e freien Glied zu vertauschen. — S. 6 Zeile vor Formel (15)
ist hinter „wird“ einzufügen: „in der elliptischen Geometrie“. — S. 6 Zeile nach
Formel (16) ist hinter „Dist.“ einzufügen: „In der hyperbolischen Geometrie tritt
an Stelle des Sinus der hyperbolische Sinus.“
In der geometrischen Benennung der in A. behandelten, aus den Koordi-
naten von 2, 3 oder 4 Elementen gebildeten Ausdrücke schwankt die Literatur
sehr. Siehe darüber schon D’Ovidio, Su varie questioni di metrica proiettiva.
Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino. Vol. 28 (1892—93) S. 566 ff. — Vgl.
auch Goolidge, The elements of non-euclidean geometry, Oxford 1909. S. 170 ff.
2) Vgl. z. B. Dakboux, Principes de Geometrie analytique, Paris 1917.
II. Mitteilung.
In einer ersten Mitteilung1) — hier als A. zitiert — habe ich die
Bedeutung der quadratischen Form in Punkt-, Ebenen- oder Linien-
koordinaten, die, gleich Null gesetzt, das absolute Gebilde einer Geo-
metrie darstellt, als Maßfunktion für diese Geometrie hervorgehoben
und dabei sog. Normalkoordinaten mit Erfolg benutzt. Auf
Linieh-, Flächen- und Volumenelemente und die durch In-
tegration aus ihnen erzielten Ausdrücke bin ich damals nicht ein-
gegangen. Da ja aber ebenso wie in dem absoluten Gebilde oder in
der Maßfunktion auch in dem Linienelement die ganze Geometrie in
nuce enthalten ist, so ist selbstverständlich letzteres durch jene mit-
bestimmt. Wie einfach sich Linien-, Flächen-, Volumenelement aus
den in A. aufgestellten Formeln ergeben und unmittelbar durch die
Maßfunktion ausdrücken lassen, wird hier gezeigt. Zum Schluß wird
kurz dargetan, wie auch bei Aufstellung der Bewegungsgleichungen
in der absoluten Geometrie die Maßfunktion den Weg zeigt.
Treten auch manche der gegebenen Formeln hier und da in der
Literatur schon auf2), so scheint doch die Einheitlichkeit und zugleich
die Einfachheit ihrer Herleitung aus wenigen Grundformeln in A. noch
nicht beachtet worden zu sein. Alle Formeln sind so gestaltet, daß
sie für e = 0 unmittelbar die der Euklidischen Geometrie liefern.
x) Diese Sitz.-Ber. Math.-nat. Klasse. Abteilung A. Jahrg. 1924. 4. Ab-
handlung. Dort ist S. 3 letzte Zeile hinter „Ebenen“ einzufügen: solange die
Koordinaten der reellen Elemente reell gewählt sind,“. — S. 5 nach Formel (12)
ist einzuschalten: „ein Punkt X und eine Ebene w, wenn : u2: u3 : == s :
ex2 : ex3 : rr4 oder :x2: x3 : ®4 — uz : u2 : u3 : sw4“. — S. 6 in Formel (13) ist das
erste Glied mit s zu multiplizieren und im zweiten Glied demgemäß der Faktor
von e mit dem von e freien Glied zu vertauschen. — S. 6 Zeile vor Formel (15)
ist hinter „wird“ einzufügen: „in der elliptischen Geometrie“. — S. 6 Zeile nach
Formel (16) ist hinter „Dist.“ einzufügen: „In der hyperbolischen Geometrie tritt
an Stelle des Sinus der hyperbolische Sinus.“
In der geometrischen Benennung der in A. behandelten, aus den Koordi-
naten von 2, 3 oder 4 Elementen gebildeten Ausdrücke schwankt die Literatur
sehr. Siehe darüber schon D’Ovidio, Su varie questioni di metrica proiettiva.
Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino. Vol. 28 (1892—93) S. 566 ff. — Vgl.
auch Goolidge, The elements of non-euclidean geometry, Oxford 1909. S. 170 ff.
2) Vgl. z. B. Dakboux, Principes de Geometrie analytique, Paris 1917.