Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Lothar Heffter:

I. Grundgebilde I. Stufe, z. B. Punktreihe.
a;2 und uv u2 seien zueinander kontragrediente homogene pro-
jektive Punktkoordinaten, das absolute Gebilde
(1) f(u, u) = u\ + £u\ — 0 | F(x, x) = ex2x22 = 0,
£ = + 1, — 1 oder 0. Das „Streckenquadrat“ zweier in Normalkoordi-
naten gegebenen Punkte wird analog wie in A. definiert durch
(2) XX,2 = (xx'y~.
Ist X in Normalkoordinaten gegeben und X 4- dX ein zu X benach-
barter Punkt, so ist
(3) F (x, x} = 1, F(x, dx) = 0,
also auch X-\-dX in Normalkoordinaten gegeben, weil nach (3)
F(x-\-dx, x-^dx) bis auf Größen II. Ordnung in den Differentialien
gleich 1 ist. Also ist das Quadrat des durch X und X + dX be-
stimmten „Li nien ele m e n te s“ ds nach (2) und unter Addition von
eF(x^ dx)2, das nach (3) gleich Null ist,
(4) ds2 = (xx dxx „ dx y2 X e (ex x dx^-^x^ dx.d)2 = dx\-\-edx\, d.h.
(5) ds2 = f(doc, dx),
eine Formel, bei deren Ableitung e2 = 1 gesetzt wurde, die aber auch
für den Euklidischen Fall s = 0 gilt, da dann x22 — 1 ist, und die be- ■
sagt: Das Quadrat des Linienelementes ist gleich der
aus den Diff erentiali en dx1} dx2 gebildeten Maßfunktion f.
Um das Linienelement zur Integration geeignet zu machen, muß
man nach (3) dx2 durch dxY und x, durch xr ausdrücken und erhält
, , dx2 dx:
(6) ds2 = - -S-
v 7 X2 1 — £X~
Die Integration von ds liefert also im Falle £ —0, wo ja x2 — 1, x1
Abszisse ist, eine durch die Einheitslänge gemessene Strecke, im
Falle £=1 einen Arcus sinus, im Falle e—— 1 eine Area sinus
hyperbolici.

II. Grundgebilde II. Stufe, z. B. Ebene.
% x„, x3 und ux, u2, u3 seien homogene projektive Punkt- und
Linienkoordinaten,
(7) f(u, u) = +£W3 = 0 ( =£(a;2-ka?2)+a.“ == 0
das absolute Gebilde als Kurve II. Klasse und II. Ordnung.
Linienelement. — Das „Streckenquadrat“ zweier in Normal-
koordinaten gegebenen Punkte X,X' wird analog wie in A. jetzt defi-
niert durch