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https://doi.org/10.11588/diglit.43226#0017
Zur absoluten Geometrie II.
9
IV. Die Bewegungsgleichungen der absoluten Geometrie.
Die Bewegungen werden in der absoluten Geometrie bekanntlich
als diejenigen projektiven Transformationen des Raumes definiert, die
das absolute Gebilde in sich selbst überführen. Stellen wir dieses
durch seine Gleichung f(u, u) = 0 in Ebenenkoordinaten dar, die wir
wegen der später beabsichtigten Spezialisierung s = 0 bevorzugen
müssen, so können wir f als Summe von vier Quadraten mit den
Koeffizienten 1 auffassen:
(46) ■ f(u,u) = u\ + u2 + w3 + (KsuJ2.
Die allgemeinsten Bewegungsgleichungen lauten also, wenn wir ur,u2,
uv ]/r£Ui als Koordinaten ansehen,
(47)
ui = an + «i2 + + ai3 u'3 etKe u\
(i = 1, 2, 3)
Ke U4 = a41 u\ + a42 u', + ct43 u\ -f- ct44 Ke u'4,
wobei } ein „orthogonales System“ ist.1) Die Quadrat-
summen der Kolonnen der aif können dabei unbeschadet der All-
gemeinheit nicht nur als einander gleich, sondern speziell gleich 1
vorausgesetzt werden.
Die Gleichungen (47) sind aber für die Spezialisierung e = 0 noch
nicht geeignet. Setzt man zunächst wieder e 4 0 voraus, so kann die
letzte Gleichung (47) durch Ke dividiert werden, und, wenn man dann
noch statt der aik Größen mit einem Index einführt, so folgt als
System der Bewegungsgleichungen
(48)
mit den
= co u\ + ß. u2 + y. u'3 + d. Vs u,
6 = 1, 2, 3)
u4 = a4 u) + ß4 u'2 + y4 u'3 + d4 u\
Relationen
(49) /’(a,a) = /’(^,^)=/,(y,y) = 1, f(a,ß) = (/>, y) = f\y,a) = 0;
(50) W = l, KK^K+K^+K^3+K£K^4] = 0
(2 = et, ß, y).
Setzt man hier s = 0, so lauten die kontragredienten Gleichungen für
die Punktkoordinaten
x\ = +«2a;2 -\-a3x3 ß-aixl
x'2 = ßl + ß2 x2 + ß3 + ß4 x4
x'. = 74^4 + 72^2+73^3 + 74^4
^'4 ~ ^4x 1 ’
0 Vgl. für die Ebene; H. Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, 3 Aufl.
1923, S. 80.
9
IV. Die Bewegungsgleichungen der absoluten Geometrie.
Die Bewegungen werden in der absoluten Geometrie bekanntlich
als diejenigen projektiven Transformationen des Raumes definiert, die
das absolute Gebilde in sich selbst überführen. Stellen wir dieses
durch seine Gleichung f(u, u) = 0 in Ebenenkoordinaten dar, die wir
wegen der später beabsichtigten Spezialisierung s = 0 bevorzugen
müssen, so können wir f als Summe von vier Quadraten mit den
Koeffizienten 1 auffassen:
(46) ■ f(u,u) = u\ + u2 + w3 + (KsuJ2.
Die allgemeinsten Bewegungsgleichungen lauten also, wenn wir ur,u2,
uv ]/r£Ui als Koordinaten ansehen,
(47)
ui = an + «i2 + + ai3 u'3 etKe u\
(i = 1, 2, 3)
Ke U4 = a41 u\ + a42 u', + ct43 u\ -f- ct44 Ke u'4,
wobei } ein „orthogonales System“ ist.1) Die Quadrat-
summen der Kolonnen der aif können dabei unbeschadet der All-
gemeinheit nicht nur als einander gleich, sondern speziell gleich 1
vorausgesetzt werden.
Die Gleichungen (47) sind aber für die Spezialisierung e = 0 noch
nicht geeignet. Setzt man zunächst wieder e 4 0 voraus, so kann die
letzte Gleichung (47) durch Ke dividiert werden, und, wenn man dann
noch statt der aik Größen mit einem Index einführt, so folgt als
System der Bewegungsgleichungen
(48)
mit den
= co u\ + ß. u2 + y. u'3 + d. Vs u,
6 = 1, 2, 3)
u4 = a4 u) + ß4 u'2 + y4 u'3 + d4 u\
Relationen
(49) /’(a,a) = /’(^,^)=/,(y,y) = 1, f(a,ß) = (/>, y) = f\y,a) = 0;
(50) W = l, KK^K+K^+K^3+K£K^4] = 0
(2 = et, ß, y).
Setzt man hier s = 0, so lauten die kontragredienten Gleichungen für
die Punktkoordinaten
x\ = +«2a;2 -\-a3x3 ß-aixl
x'2 = ßl + ß2 x2 + ß3 + ß4 x4
x'. = 74^4 + 72^2+73^3 + 74^4
^'4 ~ ^4x 1 ’
0 Vgl. für die Ebene; H. Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, 3 Aufl.
1923, S. 80.