Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über geodätische rhombische Kurvennetze auf krummen Flächen usw.
Pv _ rv __ /• Qu _ su i /1+j)2 + r2
p — q r — s \ p — q r-sj J/ l+f-j-s1
Die Integrabilität von (6) und (7) erfordert:
9 /qu Vl+p2+r2 ~PvVl+g2+s2\ _ £ / 7^ I l+p2+r2 ~^y~l+g2+s2\
' 'dv v (p—q) |/~r+F2+r2 / 9w\ (p—q) yi+g2+s2 /
Gelingt es, die beiden Gleic Bungen (8) und (9) zu lösen,
so hat man alle rhombischen Kurvennetze auf einer Fläche
bestimmt.
§2.
Flächen mit geodätischen rhombischen Netzen.
Die Kurven u = const. und v = const. sind geodätische Linien,
wenn die Fundamentalgrößen e, f, g die Gleichungen erfüllen:


Nun ist für rhombische Netze:
e = F
folglich:


oder:


Es wird also, wenn F eine Funktion nur von (u ß- y), (P eine solche
nur von u — v bezeichnet:
flD / e = ^uKl+p2 + r2 = xv |/'l-|-g2 + s2 = + — v)7
| f F2 - <P2.
Das Linienelement ds hat also die Form:
ds2 = (F — F) ((F — F) (du2 + dv2) -f- 2 (F-\- F) du dv~)
= (F— F) (F(du-\-dv)2— <P (du — dv)2),
woraus man sofort den schon von Herrn Voss1) abgeleiteten Satz er-
kennt, daß eine rhombische Teilung durch geodätische Netze
nur auf Liouvilleschen Flächen möglich ist.

ß Vgl. Anmerkung 2 auf S. 3.