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https://doi.org/10.11588/diglit.43394#0013
Über geodätische rhombische Kurvennetze auf krummen Flächen usw. 13
Die weitere Berechnung der Koeffizienten a, 1), c ist für unsere
Zwecke überflüssig. Es genügt, zu wissen, daß sechs von diesen
9 Konstanten willkürlich bleiben.
Ist also cx f 0, so besteht zwischen £ und eine lineare Beziehung
von der Form:
(43) ?; = 7v £ + 7,
wo k, l ganz beliebige Konstante sind.
(44)
II.
Ist
c1 = 0.
Cj, = 0, so erhält man aus der Gleichung (38):
(^1 + C2) £ ai 4“ C3
6^77
Berechnet man hieraus ; und setzt den so erhaltenen Wert gleich
dem aus (42) sich ergebenden, so erhält man für £ die identische
Gleichung:
(«i + \ £) (&2 (^i + c2) 42 + 2 b2 (ax+ c3) £ ffi (a2 + &3) (ax+ c3) — a3 (&x+ c2))
= (^1 ^2 4“ (®2 ^1 ^3 G 4~ b2 (®i 4” £3)) £ 4~ ^2 4~ ®2 ' ^3 ^2)
C(^i 4~ C2^ £ 4~ ai 4- C3)'
Da der Koeffizient von £3 verschwindet, so erhält man drei Gleichungen
für die 8 Koeffizienten a, b, c. Es bleiben also 5 willkürlich. Alan
kann also die in (44) auftretenden Koeffizienten b gj ' [ ^3, ^3? 1 ^2
^1+^3 als willkürliche Konstanten betrachten und also setzen:
(45) ’l = *ii + K+l
wo kv k2, k3, k±, k5 beliebig zu wählende Konstante bedeuten. Ist
Z)4 = 0, so erhalten wir wie im Falle c3 4 0 eine lineare Beziehung.
Ausgeschlossen ist in dem Vorhergehenden der Fall, daß außer
q = 0 gleichzeitig auch bj-\-c2 = 0, ax 4-^=0 ist. In diesem Falle
wird sowohl £ als t] einen konstanten Wert annehmen.
Ganz Analoges erhält man für das System (35), so daß wir also
sagen können:
Sind L\, U2, U3 Lösungen des Systems (34) und V2, TA
Lösungen des Systems (35), so besteht zwischen je zwei Quo-
+ . + ^2 u3 , F2 F3
tienten - - und z, y/ die
sind je beide konstant.
Beziehung (43) oder (45) oder
Dabei mag bemerkt werden, daß sich die Beziehung (44) nicht
ändert, wenn man zum System (35) übergeht. Die Beziehung (45) ist
also für beide Systeme dieselbe mit denselben Konstanten kv k2, k3,
Die weitere Berechnung der Koeffizienten a, 1), c ist für unsere
Zwecke überflüssig. Es genügt, zu wissen, daß sechs von diesen
9 Konstanten willkürlich bleiben.
Ist also cx f 0, so besteht zwischen £ und eine lineare Beziehung
von der Form:
(43) ?; = 7v £ + 7,
wo k, l ganz beliebige Konstante sind.
(44)
II.
Ist
c1 = 0.
Cj, = 0, so erhält man aus der Gleichung (38):
(^1 + C2) £ ai 4“ C3
6^77
Berechnet man hieraus ; und setzt den so erhaltenen Wert gleich
dem aus (42) sich ergebenden, so erhält man für £ die identische
Gleichung:
(«i + \ £) (&2 (^i + c2) 42 + 2 b2 (ax+ c3) £ ffi (a2 + &3) (ax+ c3) — a3 (&x+ c2))
= (^1 ^2 4“ (®2 ^1 ^3 G 4~ b2 (®i 4” £3)) £ 4~ ^2 4~ ®2 ' ^3 ^2)
C(^i 4~ C2^ £ 4~ ai 4- C3)'
Da der Koeffizient von £3 verschwindet, so erhält man drei Gleichungen
für die 8 Koeffizienten a, b, c. Es bleiben also 5 willkürlich. Alan
kann also die in (44) auftretenden Koeffizienten b gj ' [ ^3, ^3? 1 ^2
^1+^3 als willkürliche Konstanten betrachten und also setzen:
(45) ’l = *ii + K+l
wo kv k2, k3, k±, k5 beliebig zu wählende Konstante bedeuten. Ist
Z)4 = 0, so erhalten wir wie im Falle c3 4 0 eine lineare Beziehung.
Ausgeschlossen ist in dem Vorhergehenden der Fall, daß außer
q = 0 gleichzeitig auch bj-\-c2 = 0, ax 4-^=0 ist. In diesem Falle
wird sowohl £ als t] einen konstanten Wert annehmen.
Ganz Analoges erhält man für das System (35), so daß wir also
sagen können:
Sind L\, U2, U3 Lösungen des Systems (34) und V2, TA
Lösungen des Systems (35), so besteht zwischen je zwei Quo-
+ . + ^2 u3 , F2 F3
tienten - - und z, y/ die
sind je beide konstant.
Beziehung (43) oder (45) oder
Dabei mag bemerkt werden, daß sich die Beziehung (44) nicht
ändert, wenn man zum System (35) übergeht. Die Beziehung (45) ist
also für beide Systeme dieselbe mit denselben Konstanten kv k2, k3,