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https://doi.org/10.11588/diglit.43395#0003
Die Fundamentalkonstruktion der hyperbolischen
Trigonometrie.
§1-
Begründung der Fundamentalkonstruktion.
Das Formalsystem des hyperbolischen Dreiecks beruht erstens aut
der Fundamentalrelation zwischen Parallelwinkel und Lot: cos 77 («) -
th a und zweitens auf gewissen Grundgleichungen zwischen Seiten und
Winkeln eines Dreiecks, die direkt der Anschauung unter Anwendung
einer einfachen Konstruktion entspringen. Diese Konstruktion spielt
in der hyperbolischen Trigonometrie eine große Rolle, denn mit ihrer
Hilfe erhält man auch die obige Relation. Sie besteht darin, daß zu einer
Seite eines Dreiecks drei Parallele gezogen werden, nämlich eine durch
die gegenüberliegende Ecke und die beiden andern senkrecht zu den
Seiten, welche jene Ecke bilden. Ist die gegenüberliegende Ecke ima-
ginär, das heißt kein Winkel, sondern eine gemeinsame Senkrechte,
so ist auch hier die senkrechte Parallele zu ziehen.
Auf Grund dieser letzten Festsetzung erweisen sich auch die Hilfs-
linien am Spitzeck1) als spezielle Fälle derselben Konstruktion genau
wie beim rechtwinkligen Dreieck. Schon Lobatschewskij benutzt diese
Linien auch beim schiefwinkligen Dreieck, um die Beziehungen zwischen
den Winkeln und den Parallelwinkeln der Seiten herzuleiten. Es ist
dann notwendig, diese reine Beziehung zwischen den Winkeln selbst
überzuführen in eine Gleichung zwischen den trigonometrischen Funk-
tionen dieser Winkel, denn nur so ist es möglich, die Parallelwinkel der
Seiten durch die Seiten selbst zu ersetzen.
Im folgenden soll gezeigt werden, welche einfache geometrische
Tatsache jener Fundamentalkonstruktion zugrunde liegt, und ferner, wie
man durch ihre Anwendung auch die Relation zwischen Lot und Par-
allelwinkel erhält.
Die drei Seiten eines Dreiecks teilen, abgesehen vom Dreieck selbst,
die Ebene in sechs Teile. In einem der drei, die von den Scheitelwinkeln
der Dreiecks winkel gebildet werden, wollen wir beliebig einen Punkt $
annehmen. Wir verbinden ihn mit den drei Ecken und fällen außerdem
*) Vgl. Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, de Gruyter, Berlin § 10.
Trigonometrie.
§1-
Begründung der Fundamentalkonstruktion.
Das Formalsystem des hyperbolischen Dreiecks beruht erstens aut
der Fundamentalrelation zwischen Parallelwinkel und Lot: cos 77 («) -
th a und zweitens auf gewissen Grundgleichungen zwischen Seiten und
Winkeln eines Dreiecks, die direkt der Anschauung unter Anwendung
einer einfachen Konstruktion entspringen. Diese Konstruktion spielt
in der hyperbolischen Trigonometrie eine große Rolle, denn mit ihrer
Hilfe erhält man auch die obige Relation. Sie besteht darin, daß zu einer
Seite eines Dreiecks drei Parallele gezogen werden, nämlich eine durch
die gegenüberliegende Ecke und die beiden andern senkrecht zu den
Seiten, welche jene Ecke bilden. Ist die gegenüberliegende Ecke ima-
ginär, das heißt kein Winkel, sondern eine gemeinsame Senkrechte,
so ist auch hier die senkrechte Parallele zu ziehen.
Auf Grund dieser letzten Festsetzung erweisen sich auch die Hilfs-
linien am Spitzeck1) als spezielle Fälle derselben Konstruktion genau
wie beim rechtwinkligen Dreieck. Schon Lobatschewskij benutzt diese
Linien auch beim schiefwinkligen Dreieck, um die Beziehungen zwischen
den Winkeln und den Parallelwinkeln der Seiten herzuleiten. Es ist
dann notwendig, diese reine Beziehung zwischen den Winkeln selbst
überzuführen in eine Gleichung zwischen den trigonometrischen Funk-
tionen dieser Winkel, denn nur so ist es möglich, die Parallelwinkel der
Seiten durch die Seiten selbst zu ersetzen.
Im folgenden soll gezeigt werden, welche einfache geometrische
Tatsache jener Fundamentalkonstruktion zugrunde liegt, und ferner, wie
man durch ihre Anwendung auch die Relation zwischen Lot und Par-
allelwinkel erhält.
Die drei Seiten eines Dreiecks teilen, abgesehen vom Dreieck selbst,
die Ebene in sechs Teile. In einem der drei, die von den Scheitelwinkeln
der Dreiecks winkel gebildet werden, wollen wir beliebig einen Punkt $
annehmen. Wir verbinden ihn mit den drei Ecken und fällen außerdem
*) Vgl. Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, de Gruyter, Berlin § 10.