Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

12 Ernst Roesek
als Summand auftritt, das Vorzeichen. Aus — 77 (c + 0 wird
r 77 (c + 2')- Dieser Zeichenwechsel erklärt sich leicht durch Ver-
gleich der beiden Figuren 4 und 6. Die Parallele zu & durch fällt im
ersten Falle außerhalb der Figur, im zweiten Fall innerhalb.
Zu den vier Gruppen von Gleichungen treten noch drei weitere,
indem man der Reihe nach die Winkel 2 /z v zu werden läßt. Es re-
sultieren die Beziehungen für Dreieck, Spitzeck und rechtwinkliges
Fünfeck. Man erhält jedoch auf diese Weise nicht alle Gleichungen der
zuletzt genannten Figuren, es kommen noch einige hinzu, die durch
Symmetrie entstehen.
Setzt man z. B. in II v = n — o, so erhält man für das dann ent-
stehende Spitzeck nur 6 Gleichungen, während es in Wirklichkeit 8 sind.
Man kann sie leicht hinschreiben, wenn man die Symmetrie des Spitz-
ecks in Betracht zieht Sie ergeben sich ohne weiteres, wenn man die
Fundamentalkonstruktion auf das Spitzeck auf jede mögliche Weise
anwendet.
§3.
Ableitung der Beziehung zwischen Lot und Parallelwinkel
mit Hilfe der Fundamentalkonstruktion.
Ist der Abstand zweier Grenzkreise gemessen auf einer ihrer Achsen
gleich x. so besteht die leicht abzuleitende Gleichung:
,. \ s'
(1) -=^
wobei s u. s' die beiden Grenzkreisbögen sind, die von denselben Achsen
abgeschnitten werden. Diese Gleichung soll als bekannt vorausgesetzt
werden.
Die Beziehung zwischen Lot und Parallelwinkel, d. h. die Grund-
gleichung der ganzen Trigonometrie ist von Herrn Liebmann ohne
Zuhilfenahme räumlicher Vorstellungen abgeleitet worden.1) Es soll
gezeigt werden, daß diese Ableitung auf der Anwendung der Funda-
mentalkonstruktion b eruht.
Auf Dreieck A C B sei die Konstruktion in bezug auf die Seite a
nach beiden Seiten hin ausgeführt, außerdem seien um A Kreisbogen
beschrieben, die die Parallelen zu Tangenten haben. Dann ist:

L H. Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, de Gruyter, Berlin.