Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die komplementären Figuren der nicht-
euklidischen Ebene.

§ 1. Die Gleichungen des Fünfecks mit vier rechten Winkeln.

Lobatschefskij benutzt zur Herleitung seiner Formeln die Zu-
ordnung zwischen rechtwinkligem Dreieck und Spitzeck. Es soll ge-
zeigt werden, daß man dem rechtwinkligen Dreieck ein Fünfeck mit
fünf rechten Winkeln zuordnen kann, an denen sich die Kette der

fünf zugeordneten Dreiecke ablesen läßt. Betrachten wir zunächst ein
Fünfeck mit vier rechten Winkeln, es steht in einfacher Beziehung
zum allgemeinen Dreieck.

Wir denken uns von der spitzen
Ecke aus (der Winkel kann auch
stumpf sein) das Lot auf die Gegen-
seite gefällt, so entstehen zwei Spitz-
ecke. In diesen ist:

cos v-, = th m th h; sm v, = . 1
1 1 chm
cos v9 = th l th h; sin v9 —
’ - ehe

Also:

cos v = th m th t • th2h — -^c-1 c72
ch m ch l
cos v • chm - chl
= sh m sh l • th2h — ch c± ■ ch c2
= sh m sh l • th2 h + sh q sh c2 — ch c


Da shc1 = ^>1^ und: shc2=S^h so kommt:
cos v - chm - cht = sh m sh l th2 h + c/t2 c
c7i27t
= sh m sh l — ch2 c
(1) chc = shmshl—chmchlcosv.
Auf ganz ähnliche Weise wird noch eine andere Gleichung abge-
leitet, Es ist in den Spitzecken;