Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neuer Beweis für die Zuordnung von rechtwinkligem
Dreieck und Spitzeck in der hyperbolischen
Elementargeometrie.
In den Sitzungsberichten der Berliner Math. Ges. 8. Jahrgang 1909,
S. 21 hat O. Bund eine Herleitung der Parallelenkonstruktion der nicht-
euklidischen (hyperbolischen) Geometrie gegeben, die nur die ebenen
Axiome der drei ersten Hilbert sehen Axiomgruppen und das nicht-
euklidische Parallelenpostulat benützt, also gerade den Forderungen
genügt, die sich auch Herr Liebmann bei seiner Begründung der hyper-
bolischen Elementargeometrie stellte. Als weitaus fruchtbarste Tatsache
hat Liebmann die Zuordnung zwischen rechtwinkligen Dreiecken und
Spitzecken (Vierecken mit drei rechten Winkeln), von ihm auf ebene
Kongruenzsätze gestellt, für den Aufbau der Geometrie ausgenützt und
später die Parallelenkonstruktion auch auf anderem Wege, nämlich mit
Hilfe des Hjelmslev sehen Mittelliniensatzes elementargeometrisch er-
wiesen.1)
Hier soll gezeigt werden, daß aus der Pund sehen Figur die Zu-
ordnung rechtwinkliges Dreieck —> Spitzeck
abgeleitet werden kann und daß durch einen kleinen Zusatz die
Pund sehe Parallelenkonstruktion in die klassische Bolyai- Engel sehe
übergeführt werden kann. Der Einfachheit halber gebe ich die ganze
Entwickelung von Pund aber in der für unsere Zwecke geeigneten
Fassung.
Es sei PQ I QQ, PG// QG, PZ \_ PQ. Von einem Punkt *S von
PZ aus fällen wir die Lote SA auf PQ und SB auf QQ. Wir ziehen
ferner SQ'[[ BQ und denken uns auf SB die zum PSB — ß ge-
hörige Paralleldistanz SC=A(ß) = b abgetragen, endlich in C auf SC
die Senkrechte CZ' // SP errichtet. Endlich sei
QZH PZ, SQ// PQ /I QQ, S& // AP0
und
PQ'// SQQjBQQ'.
9 Vgl. den Artikel III AB 9 der Mathematischen Encyklopädie (M. Zacharias,
Elementargeometrie) Nr. 31, insbesondere Seite 1157.