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https://doi.org/10.11588/diglit.43386#0016
16
Wolfgang Krull:
diese Tatsache als unmittelbares Korollar aus unserm Hilfssatz folgt,
so kann § 3 von H., insbesondere der grundlegende Satz 9
über die eindeutige additive Zerlegung in „spezielle
Ringe“ sofort auf Multiplikations ringe verallgemeinert
werde n.
Mit den speziellen Komponentenringen müssen wir uns jetzt etwas
eingehender beschäftigen. Wir stellen zunächst ihre in H. abgeleiteten
Eigenschaften zusammen: Ist R ein Multiplikationsring, 7^
einer seiner speziellen Komponentenringe, so besteht
R'i aus den Elementen eines Ideals q von R, das der
Gleichung q2 = q genügt. Jedes Ideal aus R1 ist auch in
R Ideal und besitzt die Gestalt a-q. Umgekehrt ist
jedes Ideal der Form a-q ausRauch Ideal in Rv R1 ent-
hält nur ein einziges Nullteiler prim ideal p, das für ein
gewisses g der Gleichung p^ = (0) genügt.
Aus den angegebenen Eigenschaften folgt zunächst leicht, daß
1?! gleichzeitig mit R ein Multiplikationsring ist.1) Wir
haben weiter nachzuweisen, daß jeder spezielle Ring entweder einen
regulären Multiplikationsring oder einen speziellen zerlegbaren Ring
darstellt.
Daß ein Multiplikationsring ohne von 0 verschiedene Nullteiler
ein regulärer Multiplikationsring ist, wurde bereits oben im Anschluß
an die Übertragung von § 2 bemerkt. Wir zeigen jetzt weiter, daß
ein spezieller Multiplikationsring, indem nur Einheiten und
Nullteiler vorkommen, notwendig einen speziellen zerleg-
baren Ring darstellt.
Es sei R} der gegebene Bereich, £ das der Gleichung p- = (0)
genügende Nullteilerprimideal. Ist dann p = p2, so ist auch p = p3 -
. , = pe = (O), es gibt also in Rt außer 0 keinen Nullteiler, R^ stellt
nach der üblichen Ausdrucksweise einen Körper dar, und unsre Be-
hauptung ist richtig. Enthält andrerseits p ein nicht durch p2 teil-
bares Element p, so haben wir nach b) eine Gleichung (p) = p • p, und
hier kann p nicht durch p teilbar sein, ist also unter unseren beson-
deren Vor. gleich o. p stellt mithin in R± ein Hauptideal (p) dar, und
daraus folgt sofort, daß es außer den Idealen 0, p = (p), p2 = (p2), ....
p- = (0) in R± überhaupt keine Ideale gibt, Rr ist also wirklich im
Sinne der Definition von H. ein spezieller zerlegbarer Ring.
x) Um etwa einzusehen, daß IR der Bedingung b) genügt, betrachte man
zwei Ideale a-q und b-q aus R. von denen etwa a-q durch b-q teilbar ist.
Dann besteht in R eine Gleichung a-q = b-q-b und wegen q2=q folgt daraus
die auch in R1 gültige Gleichung a • q — (b • q) • (b • q).
Wolfgang Krull:
diese Tatsache als unmittelbares Korollar aus unserm Hilfssatz folgt,
so kann § 3 von H., insbesondere der grundlegende Satz 9
über die eindeutige additive Zerlegung in „spezielle
Ringe“ sofort auf Multiplikations ringe verallgemeinert
werde n.
Mit den speziellen Komponentenringen müssen wir uns jetzt etwas
eingehender beschäftigen. Wir stellen zunächst ihre in H. abgeleiteten
Eigenschaften zusammen: Ist R ein Multiplikationsring, 7^
einer seiner speziellen Komponentenringe, so besteht
R'i aus den Elementen eines Ideals q von R, das der
Gleichung q2 = q genügt. Jedes Ideal aus R1 ist auch in
R Ideal und besitzt die Gestalt a-q. Umgekehrt ist
jedes Ideal der Form a-q ausRauch Ideal in Rv R1 ent-
hält nur ein einziges Nullteiler prim ideal p, das für ein
gewisses g der Gleichung p^ = (0) genügt.
Aus den angegebenen Eigenschaften folgt zunächst leicht, daß
1?! gleichzeitig mit R ein Multiplikationsring ist.1) Wir
haben weiter nachzuweisen, daß jeder spezielle Ring entweder einen
regulären Multiplikationsring oder einen speziellen zerlegbaren Ring
darstellt.
Daß ein Multiplikationsring ohne von 0 verschiedene Nullteiler
ein regulärer Multiplikationsring ist, wurde bereits oben im Anschluß
an die Übertragung von § 2 bemerkt. Wir zeigen jetzt weiter, daß
ein spezieller Multiplikationsring, indem nur Einheiten und
Nullteiler vorkommen, notwendig einen speziellen zerleg-
baren Ring darstellt.
Es sei R} der gegebene Bereich, £ das der Gleichung p- = (0)
genügende Nullteilerprimideal. Ist dann p = p2, so ist auch p = p3 -
. , = pe = (O), es gibt also in Rt außer 0 keinen Nullteiler, R^ stellt
nach der üblichen Ausdrucksweise einen Körper dar, und unsre Be-
hauptung ist richtig. Enthält andrerseits p ein nicht durch p2 teil-
bares Element p, so haben wir nach b) eine Gleichung (p) = p • p, und
hier kann p nicht durch p teilbar sein, ist also unter unseren beson-
deren Vor. gleich o. p stellt mithin in R± ein Hauptideal (p) dar, und
daraus folgt sofort, daß es außer den Idealen 0, p = (p), p2 = (p2), ....
p- = (0) in R± überhaupt keine Ideale gibt, Rr ist also wirklich im
Sinne der Definition von H. ein spezieller zerlegbarer Ring.
x) Um etwa einzusehen, daß IR der Bedingung b) genügt, betrachte man
zwei Ideale a-q und b-q aus R. von denen etwa a-q durch b-q teilbar ist.
Dann besteht in R eine Gleichung a-q = b-q-b und wegen q2=q folgt daraus
die auch in R1 gültige Gleichung a • q — (b • q) • (b • q).