Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Alfeed Loewy:

einer sogenannten primitiven Funktion durchführen läßt, erweist sich —
was auch für beliebige (nicht endliche) algebraische Erweiterungen
eines Zahlkörpers, bei denen es keine primitiven Funktionen mehr gibt,
von Bedeutung ist — als für die Herleitung der Hauptsätze ent-
behrlich.
Der Untersuchung liegt ein beliebiger Zahlkörper P zugrunde.
Diesem Grundkörper P adjungieren wir k durch eine Kette irreduzibler
Gleichungen eingeführte Größen p15 p2, ..Qk, die wir die Dirigenten
p2, ..., Qlc des Körpers (P; px, p2, ..nennen. Der Zweck der
vorliegenden Arbeit ist das systematische Studium aller jener Er-
setzungen der Größen p15 p2, ..., pj., durch die jede richtige Gleichung
mit Koeffizienten aus P wieder in eine richtige Gleichung übergeführt
wird. Die Gesamtheit dieser Ersetzungen der Größen pv p2, ..., pz.
bezeichnen wir als das System der Transmutationen der
D i r i g e n t e n p2, ..., des Körpers (P; pv p2, ..., p7J. Wählt man
für pt, p2, ..., Qj. alle Wurzeln einer Gleichung f (x) — 0, die Koeffizienten
aus dem Grundkörper P besitzt und nur einfache Wurzeln hat, so
gehen die Transmutationen der Dirigenten p1; p2, ..., p7. in Permu-
tationen der Wurzeln von f(x) — 0 über und aus dem Transmutations-
system wird die Galois sehe Gruppe von f(x) = 0. Unter den Trans-
mutationen sind besonders bemerkenswert die im § 4 eingeführten
„automorphen Transmutationen“, mit denen mau es im Falle einer
einzigen Gleichung allein zu tun hat. Die Verallgemeinerung der
Fragestellung durch Benützung der Dirigenten eines Körpers statt der
Wurzeln einer Gleichung scheint mir aus prinzipiellen Gründen nicht
unwichtig zu sein. Durch diese Betrachtungen wird, wie ich zu zeigen
hoffe, die Galoissehe Theorie vertieft und vereinfacht? Die charakte-
ristischen Merkmale der Galoissehen Gruppe einer Gleichung findet
der Leser bereits im § 2 hergeleitet.
§1-
Die Transmutationen der Dirigenten p2, ..., gk des Körpers (P;
pr p2, ..., pÄ.) und das charakteristische Kennzeichen für die dem Unter-
körper P angehörigen Größen.
Definition des Körpers (P; p15 p2, . . ., p/u.) und seiner
Dirigenten p15 p2, . .., p7.: Unter p15 Qk sollen k von ein-
ander verschiedene Größen verstanden werden. Von ihnen
genüge p, einer Gleichung V1(x)=0 vom 7^-ten Grade mit
Koeffizienten aus dem der Betrachtung zugrundeliegen-
den Körper P, in dem die Gleichung XL(;r)=0 irreduzibel
sei. Weiter sei q2 Wurzel der Gleichung X2(x; p^ = 0 des