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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0003
Neue elementare Begründung und Erweiterung
der Galoisschen Theorie.
Die im folgenden auseinandergesetzte, wie ich glaube, neue Be-
gründung der Galois sehen Theorie setzt an Vorkenntnissen nichts anderes
als den Begriff der Irreduzibilität einer Gleichung voraus. Mit Hilfe
des Euklidischen Divisionsverfahrens ergibt sich hieraus der bereits
von Abel1) formulierte Satz: Daß, falls eine irreduzible ganze rationale
Funktion mit einer beliebigen anderen ganzen rationalen Funktion,
deren Koeffizienten dem gleichen Zahlkörper angehören, eine Nullstelle
gemeinsam hat, die erste Funktion stets Teiler der zweiten ist. Da
etwaige mehrfache Nullstellen einer ganzen Funktion f (x) stets auch
Nullstellen der ersten abgeleiteten f (x) sind, und da für einen Zahl-
körper, wie wir ihn für diese Arbeit ausnahmslos voraussetzen, f (a;) nicht
identisch verschwindet, folgt in allbekannter Weise: Jede irreduzible
ganze Funktion mit Koeffizienten aus einem Zahlkörper besitzt bloß ein-
fache Nullstellen.2) Hiermit sind alle Anforderungen an Vorkennt-
nissen erschöpft. Während der historische Weg von Lagrange zu Galois
führt, d. h. erst nach der Behandlung der Gleichungen mit unbestimmten
Koeffizienten das Studium der Gleichungen mit Koeffizienten aus einem
beliebig vorgegebenen Zahlkörper einsetzt, wird im folgenden sogar der
Satz, daß jede symmetrische Funktion der Gleichungswurzeln durch
die Gleichungskoeffizienten ausdrückbar ist, aus der Galois sehen Theorie
gewonnen werden. Auch der in allen mir bekannten Darstellungen
der GALOisschen Theorie benützte ABELsche Fundamentalsatz3), daß
sich jede durch eine endliche Anzahl algebraischer Größen bewirkte
Erweiterung eines Zahlkörpers stets mit Hilfe einer einzigen Größe,
x) N. H. Abel, Memoire sur une classe particuliere d’equations resolubles
algebriquement. Journ. f. r. u. ang. Math. 4, 133. Oeuvres par Sylow et Lie,
Christiania (1881), t. 1, p. 480.
2) Dieser Satz gilt nicht für die von E. Steinitz in seiner Arbeit „Algebraische
Theorie der Körper“, Journ. f. r. u. ang. Math. 137, 167 eingeführten, sog. un-
vollkommenen Körper; in ihnen existieren irreduzible ganze Funktionen mit
mehrfachen Nullstellen.
3) Abel, Oeuvres I, p. 547.
1*
der Galoisschen Theorie.
Die im folgenden auseinandergesetzte, wie ich glaube, neue Be-
gründung der Galois sehen Theorie setzt an Vorkenntnissen nichts anderes
als den Begriff der Irreduzibilität einer Gleichung voraus. Mit Hilfe
des Euklidischen Divisionsverfahrens ergibt sich hieraus der bereits
von Abel1) formulierte Satz: Daß, falls eine irreduzible ganze rationale
Funktion mit einer beliebigen anderen ganzen rationalen Funktion,
deren Koeffizienten dem gleichen Zahlkörper angehören, eine Nullstelle
gemeinsam hat, die erste Funktion stets Teiler der zweiten ist. Da
etwaige mehrfache Nullstellen einer ganzen Funktion f (x) stets auch
Nullstellen der ersten abgeleiteten f (x) sind, und da für einen Zahl-
körper, wie wir ihn für diese Arbeit ausnahmslos voraussetzen, f (a;) nicht
identisch verschwindet, folgt in allbekannter Weise: Jede irreduzible
ganze Funktion mit Koeffizienten aus einem Zahlkörper besitzt bloß ein-
fache Nullstellen.2) Hiermit sind alle Anforderungen an Vorkennt-
nissen erschöpft. Während der historische Weg von Lagrange zu Galois
führt, d. h. erst nach der Behandlung der Gleichungen mit unbestimmten
Koeffizienten das Studium der Gleichungen mit Koeffizienten aus einem
beliebig vorgegebenen Zahlkörper einsetzt, wird im folgenden sogar der
Satz, daß jede symmetrische Funktion der Gleichungswurzeln durch
die Gleichungskoeffizienten ausdrückbar ist, aus der Galois sehen Theorie
gewonnen werden. Auch der in allen mir bekannten Darstellungen
der GALOisschen Theorie benützte ABELsche Fundamentalsatz3), daß
sich jede durch eine endliche Anzahl algebraischer Größen bewirkte
Erweiterung eines Zahlkörpers stets mit Hilfe einer einzigen Größe,
x) N. H. Abel, Memoire sur une classe particuliere d’equations resolubles
algebriquement. Journ. f. r. u. ang. Math. 4, 133. Oeuvres par Sylow et Lie,
Christiania (1881), t. 1, p. 480.
2) Dieser Satz gilt nicht für die von E. Steinitz in seiner Arbeit „Algebraische
Theorie der Körper“, Journ. f. r. u. ang. Math. 137, 167 eingeführten, sog. un-
vollkommenen Körper; in ihnen existieren irreduzible ganze Funktionen mit
mehrfachen Nullstellen.
3) Abel, Oeuvres I, p. 547.
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