Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

6

Alfeed Loewy:

nur Koeffizienten aus P besitzt. Ist qu irgend eine Wurzel
vonX1(a;) = 0, weiter @2i irgend eine Wurzel von X2(x; = Q,
alsdann p3i- irgend eine Wurzel von X3 (x; qu, @2?.) = 0
und so fort, schließlich. Qki eine beliebige Wurzel von
Xk(x; Qiv Q2i> - • -> Qk-ii) = so hat das Bestehen der Gleichung
2 (2v 22’ • • •> 2z;) = 0 stets auch die Gültigkeit der Gleichung
(.Qu, Q2ü • •2h) = für jede beliebige Wahl der Größen
Qu, Q2i, ■ •Qki als Wurzeln der Gleichungskette, aus der sie
nach der obigen Vorschrift zu entnehmen sind, zur Folge.
B e w ei s a. AIittels der letzten Gleichung Xk (x; q2, ..Qk_^) = 0,
die Qk zur Wurzel besitzt und den Grad hk hat, verwandeln wir die ganze
Funktion 2 q2, ..in eine solche ganze Funktion, die Qk höchstens
in der Potenz hk—l enthält. Alsdann beseitige man aus 2 (px, q2, ...,
mit Hilfe der voraufgehenden Gleichung Xk_r (A; q2, Qk_2) = 0,
die durch befriedigt wird, alle Potenzen von Qk_v die von höherem
als — 1) tem Grade sind. Hierauf entferne man aus 2 (p1? q2, ..., pz.)
mittels der voraufgehenden Gleichung Xk_2 (x; o1, @2,..., p7i._3) = 0, die
Qk—2 zur Wurzel hat, alle Potenzen von p7._2’ die von höherem als
Qlk-2 ~ 1) len Grade sind. So fortfahrend wird schließlich 2(px, ^2,
..., mittels der Gleichung (x) — 0, die durch befriedigt wird,
in eine ganze Funktion von höchstens (7^—l)ten Grad in @x um-
gewandelt. Man erhält mithin 2 (px, q2, ..., Qk) — 2r (jov q2, ..Qk), wobei
2r (2p 22’• • •’2z.-) in 2i höchstens vom Grade h1—l, in q2 höchstens
vom Grade h2 — 1 und so weiter in Qk höchstens vom Grade 7zÄ—1 ist.
Die Gleichung 2r (@x, q2, . .., Qk_v x) = 0 des Grades <T ^z. — 1 mit
Koeffizienten aus (F; qv q2, ..Qk_-j) hat wegen der nach Voraussetzung
zutreffenden Relation 2 (@x, @2,..., Qk) — 0, also auch 2r (px, p2, ..., ß7.) = 0,
mit der im Körper (F; qv q2, . . pz._x) irreduziblen Gleichung
Xk (x; qv q2, . . ., Qk^1) = 0 des Grades hk die Wurzel Qk gemein-
sam. Da eine irreduzible Gleichung und eine Gleichung niedrigeren
Grades mit Koeffizienten aus demselben Körper eine Würze] niemals
gemeinsam haben können, muß 2r (pv p2, .. ., Qk-±, frei von x sein,
Xr (2i’ 22’ • • ■’ 2z;-i, Qk) enthält also Qk überhaupt nicht, und man hat
K (21’ 22’ • • •’ Qk-v Qk) = K (21’ 22, • • •’ 2z-i). Wir wenden jetzt das
gleiche Verfahren auf die Gleichung 2r (px, q2, ..., pz._2, x) = 0, die in x
vom Grade ^k-i ~ 1 an. Wegen 2Z (@x, Q2, .. Qk-2^ Qk-i) -
hat die angegebene Gleichung mit der irreduziblen Gleichung
^z--i 2p 22’ • • •’ Qk-2) = 0 des Grades die Wurzel Qk^ ge-
meinsam. Da beide Gleichungen Koeffizienten aus dem Körper
(F: p2,..., 2z,-2) besitzen und die irreduzible Gleichung höheren Grad
als 2r (pr q2, ..., pÄ_2, x) = 0 hat, kann die letzte Gleichung nicht existieren.