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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0008
8'
Alfred Loewy:
Nach unserer Annahme der Gültigkeit des zu beweisenden Satzes für
li — n bleiben alle richtigen Gleichungen zwischen p1? 82, • • ■> Qn mit
Koeffizienten aus P auch noch richtig, wenn man 8i>82>--»>8« durch
ersetzt. Folglich ergibt sich aus der Gleichung (2) für
alle Zahlen x aus P die weitere Relation:
(3) 2 (^li’ 82O • • •> 8«O “G (x ; Q2i, • • ■> Qni)- P (+ 810 820 • • ■> Qni)'
Da die in (3) links und rechts stehenden Polynome für unendlich
viele Werte von x, nämlich für alle Zahlen aus P übereinstimmen,
ist die Gleichung (3) für alle x richtig. Setzt man in (3) für x irgend
eine Wurzel Qn+u von (x; qu, o.2i, ..., Qnt) = 0 ein, so erhält
man aus (3), da AG-Lj. (8«4-ui 810 820 • • •> 8»i) = 0 ist, die Relation
2 (810 821? • • •> 8ni’8n+ü) — 0, die bewiesen werden sollte.
Für n = 0, wo 2 (o1? Q2, ..., frei von qx, q2, ..gn ist und es
sich demnach nur um die Identität 0 = 0 handelt, ist der zu beweisende
Satz sicher richtig. Da die der vollständigen Induktion zu Grunde
liegende Annahme für n = 0 erfüllt ist, gilt sie nach dem Schluß von
n auf n+1 infolge des geführten Beweises für 0 + 1 = 1, hierauf für
1 + 1 = 2 usw. Hiermit ist der Satz 1 allgemein bewiesen.
Der bewiesene Satz kann als verallgemeinertes AbelscIics
Theorem bezeichnet werden, denn er stellt die Ausdehnung des zu Be-
ginn der Einleitung erwähnten Abel sehen, dem Fall 7r=l entsprechen-
den Satzes, wonach jede für eine Wurzel einer irreduziblen Gleichung
mit Koeffizienten aus dem Grundkörper P gültige Relation für alle
Gleichungswurzeln bestehen bleibt, auf die Wurzeln einer Kette irre-
duzibler Gleichungen dar.
Für das Folgende brauchen wir einen Hilfssatz über die linken
Seiten der Gleichungskette. Dieser Hilfssatz lautet:
Ersetzt man px, o2,..., on durch 810 820 • • •> 8n* und betrachtet
die Gleichung (x; g2i, ..., 8»-ii) = 0 (n = 1,2, ..., 7v), so ist
diese Gleichung irreduzibel im Körper (P; 8io82O---> 8«i)-
Der Satz trifft im Falle n =1 zu; denn voraussetzungsgemäß ist
die Gleichung A^ (P) = 0 im Körper P irreduzibel. Die Allgemein-
gültigkeit des Hilfssatzes zeigen wir durch vollständige Induktion,
indem wir ihn bis zur Zahl n als richtig annehmen und hieraus seine
Gültigkeit für die nächstfolgende Zahl n + 1 erweisen. Wäre im
Gegensatz zu der in unserem Satze ausgesprochenen Behauptung
Xt+1 810 820 •••> 8;u) im Körper (P; g2i, reduzibel, so
gäbe es eine Zerlegung
(4) Xn+1 (x; qu, Q2i,..., oni) = (p(x; Q2i,..., Qni). ip (x-, g2i,..., Qni),
Alfred Loewy:
Nach unserer Annahme der Gültigkeit des zu beweisenden Satzes für
li — n bleiben alle richtigen Gleichungen zwischen p1? 82, • • ■> Qn mit
Koeffizienten aus P auch noch richtig, wenn man 8i>82>--»>8« durch
ersetzt. Folglich ergibt sich aus der Gleichung (2) für
alle Zahlen x aus P die weitere Relation:
(3) 2 (^li’ 82O • • •> 8«O “G (x ; Q2i, • • ■> Qni)- P (+ 810 820 • • ■> Qni)'
Da die in (3) links und rechts stehenden Polynome für unendlich
viele Werte von x, nämlich für alle Zahlen aus P übereinstimmen,
ist die Gleichung (3) für alle x richtig. Setzt man in (3) für x irgend
eine Wurzel Qn+u von (x; qu, o.2i, ..., Qnt) = 0 ein, so erhält
man aus (3), da AG-Lj. (8«4-ui 810 820 • • •> 8»i) = 0 ist, die Relation
2 (810 821? • • •> 8ni’8n+ü) — 0, die bewiesen werden sollte.
Für n = 0, wo 2 (o1? Q2, ..., frei von qx, q2, ..gn ist und es
sich demnach nur um die Identität 0 = 0 handelt, ist der zu beweisende
Satz sicher richtig. Da die der vollständigen Induktion zu Grunde
liegende Annahme für n = 0 erfüllt ist, gilt sie nach dem Schluß von
n auf n+1 infolge des geführten Beweises für 0 + 1 = 1, hierauf für
1 + 1 = 2 usw. Hiermit ist der Satz 1 allgemein bewiesen.
Der bewiesene Satz kann als verallgemeinertes AbelscIics
Theorem bezeichnet werden, denn er stellt die Ausdehnung des zu Be-
ginn der Einleitung erwähnten Abel sehen, dem Fall 7r=l entsprechen-
den Satzes, wonach jede für eine Wurzel einer irreduziblen Gleichung
mit Koeffizienten aus dem Grundkörper P gültige Relation für alle
Gleichungswurzeln bestehen bleibt, auf die Wurzeln einer Kette irre-
duzibler Gleichungen dar.
Für das Folgende brauchen wir einen Hilfssatz über die linken
Seiten der Gleichungskette. Dieser Hilfssatz lautet:
Ersetzt man px, o2,..., on durch 810 820 • • •> 8n* und betrachtet
die Gleichung (x; g2i, ..., 8»-ii) = 0 (n = 1,2, ..., 7v), so ist
diese Gleichung irreduzibel im Körper (P; 8io82O---> 8«i)-
Der Satz trifft im Falle n =1 zu; denn voraussetzungsgemäß ist
die Gleichung A^ (P) = 0 im Körper P irreduzibel. Die Allgemein-
gültigkeit des Hilfssatzes zeigen wir durch vollständige Induktion,
indem wir ihn bis zur Zahl n als richtig annehmen und hieraus seine
Gültigkeit für die nächstfolgende Zahl n + 1 erweisen. Wäre im
Gegensatz zu der in unserem Satze ausgesprochenen Behauptung
Xt+1 810 820 •••> 8;u) im Körper (P; g2i, reduzibel, so
gäbe es eine Zerlegung
(4) Xn+1 (x; qu, Q2i,..., oni) = (p(x; Q2i,..., Qni). ip (x-, g2i,..., Qni),