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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0009
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 9
wobei cp und y> in x niedrigeren Grad als X^ besitzen und Koef-
fizienten aus dem Körper (P; g1£, g2i, ..Qn^) haben, für jeden Wert
x aus P ist (4) eine Gleichung zwischen Qxi, Q2i, ..Qni mit Koeffizienten
aus P. Die Größen Qu, Q2i, .. ., Qni Wurzeln der Gleichungen
Ax ÖO = G -^2 (“G 51i) = X3(x, gx £, Q2i) Q, ..., Xn (x, Qu, Q2{, • • •, Qn—Xi) 0,
deren Irreduzibilität in den Körpern P, (P; g1£), (P; gi£, g2,-), . . .
(P; gj£, g2„ ..Qn-ii) als bereits nachgewiesen gilt. Man kann daher
auf die Größen g1£, g2i-, ..., Qni unseren Satz anwenden und die ge-
nannten Größen in der Gleichung (4), wenn man nur unter x irgend
eine Zahl aus P versteht, ersetzen durch die Lösungen gv g2, ..., g.n
der entsprechenden Gleichungskette Xr (x) = 0, X2 (x; gx) = 0,
X3 (x; gp g2) = 0, ..., Xn (x; ov q2, ..., gn_i) = 0. Hierdurch erhält
man zunächst für sämtliche Werte x aus P und, da dies unendlich
viele Werte sind, für jedes x die Zerlegung
XM+1 («; gl, g2, • . Qn) = V (jo 51» 52» • • •> Qn) Qu 52» • • •> Qn)-
Diese Zerlegung befindet sich aber im Widerspruch mit der Irreduzibilität
von X)l+1 (x-, gi g2,..., gn) im Körper (P; gp g2,..gn), die voraussetzungs-
gemäß besteht. Mithin ist gezeigt, daß die Irreduzibilität von Xx (x) = 0,
X2 (x\ gn) = 0, X3 (29 g1£, g2£) = 0, ..., Xn (X", Qu, g2£, ..., Qn—lt-) = 0 in
den Körpern P beziehungsweise (P; g1£), (P; g^, g2,-), ..., (P; 5ü> 52i»
• • ., Qn-ii) auch noch die Irreduzibilität von X,^ (x; g^, g2£, .. ., g„,-)
im Körper (P; Qu> Q2i> • • •’Qni) zur Folge hat. Da die Gleichung
Xx (x) = 0 irreduzibel war, ist der Hilfssatz allgemein für n = 1, 2, . .li
erwiesen.
Definition der Transmutationen der Dirigenten
gi, g2 ..., Qk des Körpers (P; Qv Q2, ..., Qk)- Jede Ersetzung
P L ) der Größen p,, p9, . .., p7. durch irgend-
\5i 52 ••• 5dz 1 "
welche Größen Q-j*, Q2fi, ..., Qk*, die jede richtige Gleichung
zwischen Qi,Q2,---,Qk mit Koeffizienten aus P wieder
in eine richtige Gleichung überführt, bezeichnen wir als
eine Transmutation der Größen gn g2, ..., Qk. Das charakte-
ristische Kriterium dafür, daß ( ^i.1. ‘j eine Transmutation
\5i 52 • • • Qi-/
darstellt, ist also, daß jede richtige Gleichung 2 (5X, q2, ..., Qj)) — 0
zwischen Qi,Q2,-^.,Qk mit Koeffizienten aus P stets auch die Gültig-
keit der Relation 2 (gx*, g2*, ..., gfc*) = 0 zur Folge hat. Offenbar sind
nach dem Inhalt des Satzes 1 die in ihm studierten Ersetzungen
( ) als Transmutationen von g., o9. ..p7. zu bezeichnen.
\\ ir zeigen nunmehr, daß mit diesen durch den Satz 1 gelieferten Trans-
wobei cp und y> in x niedrigeren Grad als X^ besitzen und Koef-
fizienten aus dem Körper (P; g1£, g2i, ..Qn^) haben, für jeden Wert
x aus P ist (4) eine Gleichung zwischen Qxi, Q2i, ..Qni mit Koeffizienten
aus P. Die Größen Qu, Q2i, .. ., Qni Wurzeln der Gleichungen
Ax ÖO = G -^2 (“G 51i) = X3(x, gx £, Q2i) Q, ..., Xn (x, Qu, Q2{, • • •, Qn—Xi) 0,
deren Irreduzibilität in den Körpern P, (P; g1£), (P; gi£, g2,-), . . .
(P; gj£, g2„ ..Qn-ii) als bereits nachgewiesen gilt. Man kann daher
auf die Größen g1£, g2i-, ..., Qni unseren Satz anwenden und die ge-
nannten Größen in der Gleichung (4), wenn man nur unter x irgend
eine Zahl aus P versteht, ersetzen durch die Lösungen gv g2, ..., g.n
der entsprechenden Gleichungskette Xr (x) = 0, X2 (x; gx) = 0,
X3 (x; gp g2) = 0, ..., Xn (x; ov q2, ..., gn_i) = 0. Hierdurch erhält
man zunächst für sämtliche Werte x aus P und, da dies unendlich
viele Werte sind, für jedes x die Zerlegung
XM+1 («; gl, g2, • . Qn) = V (jo 51» 52» • • •> Qn) Qu 52» • • •> Qn)-
Diese Zerlegung befindet sich aber im Widerspruch mit der Irreduzibilität
von X)l+1 (x-, gi g2,..., gn) im Körper (P; gp g2,..gn), die voraussetzungs-
gemäß besteht. Mithin ist gezeigt, daß die Irreduzibilität von Xx (x) = 0,
X2 (x\ gn) = 0, X3 (29 g1£, g2£) = 0, ..., Xn (X", Qu, g2£, ..., Qn—lt-) = 0 in
den Körpern P beziehungsweise (P; g1£), (P; g^, g2,-), ..., (P; 5ü> 52i»
• • ., Qn-ii) auch noch die Irreduzibilität von X,^ (x; g^, g2£, .. ., g„,-)
im Körper (P; Qu> Q2i> • • •’Qni) zur Folge hat. Da die Gleichung
Xx (x) = 0 irreduzibel war, ist der Hilfssatz allgemein für n = 1, 2, . .li
erwiesen.
Definition der Transmutationen der Dirigenten
gi, g2 ..., Qk des Körpers (P; Qv Q2, ..., Qk)- Jede Ersetzung
P L ) der Größen p,, p9, . .., p7. durch irgend-
\5i 52 ••• 5dz 1 "
welche Größen Q-j*, Q2fi, ..., Qk*, die jede richtige Gleichung
zwischen Qi,Q2,---,Qk mit Koeffizienten aus P wieder
in eine richtige Gleichung überführt, bezeichnen wir als
eine Transmutation der Größen gn g2, ..., Qk. Das charakte-
ristische Kriterium dafür, daß ( ^i.1. ‘j eine Transmutation
\5i 52 • • • Qi-/
darstellt, ist also, daß jede richtige Gleichung 2 (5X, q2, ..., Qj)) — 0
zwischen Qi,Q2,-^.,Qk mit Koeffizienten aus P stets auch die Gültig-
keit der Relation 2 (gx*, g2*, ..., gfc*) = 0 zur Folge hat. Offenbar sind
nach dem Inhalt des Satzes 1 die in ihm studierten Ersetzungen
( ) als Transmutationen von g., o9. ..p7. zu bezeichnen.
\\ ir zeigen nunmehr, daß mit diesen durch den Satz 1 gelieferten Trans-