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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0010
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Alfred Loewy:
mutationen auch sämtliche Transmutationen der Dirigenten 2i, Qk
des Körpers (P; Qk, q2, ..Qk) erschöpft sind. Es sei )
eine beliebige Transmutation von @2, @k. Da diese nach Defini-
tion auf alle richtigen Gleichungen zwischen @x, q2, Qk mit Koeffi-
zienten aus P ausführbar sein muß, kann man sie im besondere auch
auf die von Qk befriedigten Gleichungen der Kette A\ (2X)
= 0, A2 (q2; 2i) = 0, Ak (23; 2i> Q2) — 0, • • •> %k (<?7d Qi> t?2> •• •? Qk-i) = 0
anwenden. Hierdurch erhält man (2/) = 0, X2 (q*; q*) = 0,
^3 (&*i Q*> £2*) = 0,..., Xk (Qk*; 2x*, 22*; • • •, p7*-i) = 0- Diese Gleichungen
besagen aber, daß 21* eine Wurzel qu von Xx (x) = 0, weiter q2* eine
Wurzel 221 von X2 (x; = 0, ferner 23* eine der Wurzeln 231 von
A3 (x> Qu> Qzi) ~ 0 rmd so weiter, schließlich 2U eine der Wurzeln @ki von
Xk (aß J?ii> Q2i> •••> Qk-it) = ^ ist. Folglich besitzt jede beliebige Trans-
mutation ), wie gezeigt werden soll, notwendig die im
\T1 02* • • • 01-*/ ,
Satze 1 studierte Form ~,c ).
\014 Q21 • • • Qki/
Um noch die Anzahl der Transmutationen 1 "* ) zu be-
\Qli Q2i ' • ‘ Qki/
stimmen, bedenke man, daß die Gleichung A?x (x~) — 0 wegen ihrer
Irreduzibilität im Körper P lauter verschiedene Wurzeln hat, daß sich
also 2ii dem Grade von A\ (a?) — 0 entsprechend auf 7zx Arten wählen läßt.
Weiter hat die Gleichung X2 (x; Q^ — 0 wegen ihrer Irreduzibilität im
Körper (P; 214) ihrem Grade entsprechend li2 verschiedene Wurzeln,
so daß man zu jeder der hx möglichen Bestimmungen von 214 eine 7/2-fache
Wahl von Q2i als Wurzel von X2 (x; q-^) = 0 treffen kann. So fort-
fahrend läßt sich schließlich Qki als Wurzel der im Körper (P; 2i4>
22j, ..., 2ä-ii) irreduziblen Gleichung Xk (x; Qki, Q2i, ..., Qk_k) = 0 vom
Grade hk, nach getroffener Wahl von 2i4> Q2i> •• •> Qk-ii> noch jeweils
auf hk verschiedene Arten bestimmen. Es gibt mithin im ganzen s -
7?x- 7?2 ... hk verschiedene Transmutationen, soviel wie die Gradzahl s des
Körpers beträgt.
Wir wollen schließlich noch zeigen, daß aus der von uns voraus-
gesetzten Ungleichheit je zweier der Größen 2n 02> • • •> 0fc folgt, daß
auch niemals zwei der Größen 2ii> Q2I’ • • •’ Qki untereinander gleich sein
können. Angenommen, es wäre einmal Qji = Qn, wobei j und l zwei
verschiedene Zahlen aus der Reihe 1, 2, ..k bedeuten. Die Bezeich-
nung sei so gewählt, daß j <,1 ist. Dann genügt 2/4 der Gleichung
x — 2n = 0> uud die von 2/4 befriedigte in (P; 214, Q2i • ■ Qi-ii) irredu-
zible ganze Funktion lautet Xt {x‘ g2i, ..., q^^^x — Qji.. Mithin
ergibt sich X^ (x; qv q2, ..Qi-j) x — Qj. Da aber X{ voraussetzungs-
Alfred Loewy:
mutationen auch sämtliche Transmutationen der Dirigenten 2i, Qk
des Körpers (P; Qk, q2, ..Qk) erschöpft sind. Es sei )
eine beliebige Transmutation von @2, @k. Da diese nach Defini-
tion auf alle richtigen Gleichungen zwischen @x, q2, Qk mit Koeffi-
zienten aus P ausführbar sein muß, kann man sie im besondere auch
auf die von Qk befriedigten Gleichungen der Kette A\ (2X)
= 0, A2 (q2; 2i) = 0, Ak (23; 2i> Q2) — 0, • • •> %k (<?7d Qi> t?2> •• •? Qk-i) = 0
anwenden. Hierdurch erhält man (2/) = 0, X2 (q*; q*) = 0,
^3 (&*i Q*> £2*) = 0,..., Xk (Qk*; 2x*, 22*; • • •, p7*-i) = 0- Diese Gleichungen
besagen aber, daß 21* eine Wurzel qu von Xx (x) = 0, weiter q2* eine
Wurzel 221 von X2 (x; = 0, ferner 23* eine der Wurzeln 231 von
A3 (x> Qu> Qzi) ~ 0 rmd so weiter, schließlich 2U eine der Wurzeln @ki von
Xk (aß J?ii> Q2i> •••> Qk-it) = ^ ist. Folglich besitzt jede beliebige Trans-
mutation ), wie gezeigt werden soll, notwendig die im
\T1 02* • • • 01-*/ ,
Satze 1 studierte Form ~,c ).
\014 Q21 • • • Qki/
Um noch die Anzahl der Transmutationen 1 "* ) zu be-
\Qli Q2i ' • ‘ Qki/
stimmen, bedenke man, daß die Gleichung A?x (x~) — 0 wegen ihrer
Irreduzibilität im Körper P lauter verschiedene Wurzeln hat, daß sich
also 2ii dem Grade von A\ (a?) — 0 entsprechend auf 7zx Arten wählen läßt.
Weiter hat die Gleichung X2 (x; Q^ — 0 wegen ihrer Irreduzibilität im
Körper (P; 214) ihrem Grade entsprechend li2 verschiedene Wurzeln,
so daß man zu jeder der hx möglichen Bestimmungen von 214 eine 7/2-fache
Wahl von Q2i als Wurzel von X2 (x; q-^) = 0 treffen kann. So fort-
fahrend läßt sich schließlich Qki als Wurzel der im Körper (P; 2i4>
22j, ..., 2ä-ii) irreduziblen Gleichung Xk (x; Qki, Q2i, ..., Qk_k) = 0 vom
Grade hk, nach getroffener Wahl von 2i4> Q2i> •• •> Qk-ii> noch jeweils
auf hk verschiedene Arten bestimmen. Es gibt mithin im ganzen s -
7?x- 7?2 ... hk verschiedene Transmutationen, soviel wie die Gradzahl s des
Körpers beträgt.
Wir wollen schließlich noch zeigen, daß aus der von uns voraus-
gesetzten Ungleichheit je zweier der Größen 2n 02> • • •> 0fc folgt, daß
auch niemals zwei der Größen 2ii> Q2I’ • • •’ Qki untereinander gleich sein
können. Angenommen, es wäre einmal Qji = Qn, wobei j und l zwei
verschiedene Zahlen aus der Reihe 1, 2, ..k bedeuten. Die Bezeich-
nung sei so gewählt, daß j <,1 ist. Dann genügt 2/4 der Gleichung
x — 2n = 0> uud die von 2/4 befriedigte in (P; 214, Q2i • ■ Qi-ii) irredu-
zible ganze Funktion lautet Xt {x‘ g2i, ..., q^^^x — Qji.. Mithin
ergibt sich X^ (x; qv q2, ..Qi-j) x — Qj. Da aber X{ voraussetzungs-