Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. U
gemäß durch ql befriedigt wird, folgt, daß — Qj — Ü sein muß. Dies
steht aber im Widerspruch mit der Ungleichheit von Q.j und Mithin
müssen auch Qjk und stets untereinander verschieden sein.
Zusammenfassend erhalten wir das abschließende Resultat, das wir
so formulieren:
Satz 2. Sind q2, ..., Qk k untereinander verschiedene
Größen, die derKettein den Körpern P beziehungsweise (P; ^),
(P; @2), ...(P; 0V 02> • • •, 0fc-i) irreduzibler Gleichungen (rr) = O.
X2 (x; = 0, V3 (x- Qlf g2) = 0, ..Xk (x-, q1} q2, ..0Ä_1) = 0 ge-
nügen, und ist s = hr hz... hk das Produkt der Gleichungsgrade,
so gibt es im Körper (P; q2, ■.ok) genau s untereinander
verschiedene Transmutationen seiner Dirigenten @x, q2, ..
Diese lauten ); dabei durchlaufen alle
\01i 02i Qkiy
Wurzeln der Gleichung Xx (P) = 0, Q2i alle 7i2 Wurzeln der
Gleichungen X2(x; Qn^ — O usw., schließlich Qki alle hk Wurzeln
der Gleichungen Xk (x; Q2i, ..Qk_ki) = 0. Unter den im
Nenner jeder Transmutation stehenden k Größen 0^,020
..., Qki befinden sich ebenso wie unter den Größen 0X, 02>
• • •; 0fc des Zählers niemals zwei untereinander gleiche.
Definition. Die Gesamtheit der im Satz 2 erhaltenen s Trans-
mutationen der Größen Qi, Q2’■ ■ Qk wollen wir das Transmuta-
tionssystem der Dirigenten q2, ■ ■Qk des Körpers (P;
0i, q2, ..., Qk) nennen. Ersichtlich befindet sich unter den s Trans-
mutationen des Systems auch die der Wahl 01i = 0X, 02i = 02’ • • •? Qki~Qk
entsprechende identische Transmutation \ \ die identische
. \0i 02 • • • 0M
Permutation der Größen @x, q2, ..., gk.
Wir wenden uns nunmehr zum Beweis von
Satz 3. Nimmt eine rationale Funktion (Qx, o2, ..Qk)
der Größen 0i, 02’ • • •> 0jt mit Koeffizienten aus P bei all en
s Transmutationen des Transmutationssystems der Diri-
genten 0i> 02’• • •’0jt des Körpers (P; 01; 02> • • •’0/c) denselben
Wert c an, so ist c eine Zahl aus P.
Wir verwandeln zunächst mit Hilfe des beim Beweise a des Satzes 1
auseinandergesetzten Verfahrens die vorgelegte rationale Funktion
/t (01’02’ • • •’ 0&) in eine ganze rationale Funktion /zr (@p q2, ..q^, die
höchstens in der (Äx — l)ten, q2 höchstens in der (Z/2—l)ten usw. gk höch-
stens in der (hk — l)ten Potenz enthält. Dann ist (01, 02>-• 0z,-)=-
/<r(0i’ 02’ • • •’ 07c) = c- Zu den nach Voraussetzung in (^x, q2, ..., 0^)
zulässigen, den Wert c nicht ändernden s Ersetzungen gehören im be-