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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0013
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 13
u ({?!, q2, •• •> 0A-) = F Q2i> ■ • ■> Qki)- Da das letzte Gleichungssystem
nach Satz 3 auch umgekehrt besagt, daß der Wert c, den /z (^1? q2,..Qk~)
besitzt, dem Körper P angehört, hat man
Satz 4. Die notwendige und hinreichende Bedingung
dafür, daß eine rationale Funktion /u (q^ Q2, •. Qi) der
Größen Q& ■ • Qk Koeffizienten aus P einen Werte
aus dem Körper P besitzt, ist, daß sie bei allen «Trans-
mutationen des Tra nsmutationssystems der Dirigenten
q2, ..., Q]. des Körpers (P; q±, q2, ..., Qk) un verändert den-
selben Wert an nimmt (einwertig ist).
Bei einer Transmutation ( @2 ''' ) werden im allgemeinen
\Qii $2i ■ ■ ■ QkJ
Qyi> Qzi> • • •> Qki nicht rationale Funktionen von q2, ..., o/t. sein, daher
nicht einmal dem Körper (P; q2, ..., pZi.) angehören, geschweige denn
bis auf die Reihenfolge mit den Größen Qi,Q2,---,Qk übereinstimmen,
also Permutationen der Größen qx, q2, ..., Qj. werden. Im Trans-
mutationssystem der Dirigenten Qi,Q2,-..,Qk des Körpers (P; Qz>
• ■} Qk) befindet sich aber mindestens eine Permutation, nämlich die
identische. Wir beweisen nunmehr
Satz 5. Die unter den s Transmutationen der Diri-
genten Qu q2, •. Qj; des Körpers (P; q2, ..., q^ enthaltenen
Permutationen bilden eine Permutationsgruppe.
A = -2 ’' ‘ 'fc und B — ( ‘ ) seien irgend zwei
\t?ai Qa2 • • • Qaky \Qbit Qb2 • • ■ Qb];/
im Transmutationssystem der s Transmutationen enthaltene Permuta-
tionen. Ist 2(@15 q2, . .Qj.) = 0 irgend eine richtige Gleichung zwischen
q2, ..., Qk mit Koeffizienten aus P, so kann man auf sie als richtige
Gleichung die Permutation A = ( @2 " ' \ da sie voraussetzungs-
klar Q«2 ‘ ■ • QakJ
gemäß dem Transmutationssystem angehört, anwenden und erhält
die ebenfalls richtige Gleichung 2 (@ai, @a2, ..., @ajk)=0. Auch
die Permutation B = ( \ die man auch schreiben kann
\£?&1 Qb2 • • • QbkJ
B = f -ai ‘ ‘ @ak 'l gehört nach Voraussetzung dem System der
s Transmutationen an und ist daher auf die zuletzt gefundene
Gleichung 2 (oai, q(12, ..., Qaj.) — 0 anwendbar; hierdurch ergibt sich
^bai, Qi>a2, • • Qbaj) = O. Diese Gleichung besagt aber, daß man die
aus A und B komponierte Permutation AB=(^1 ) auf
jede richtige Gleichung Z (^x, q2, ..ofc) — 0 ausführen darf. Die Per-
u ({?!, q2, •• •> 0A-) = F Q2i> ■ • ■> Qki)- Da das letzte Gleichungssystem
nach Satz 3 auch umgekehrt besagt, daß der Wert c, den /z (^1? q2,..Qk~)
besitzt, dem Körper P angehört, hat man
Satz 4. Die notwendige und hinreichende Bedingung
dafür, daß eine rationale Funktion /u (q^ Q2, •. Qi) der
Größen Q& ■ • Qk Koeffizienten aus P einen Werte
aus dem Körper P besitzt, ist, daß sie bei allen «Trans-
mutationen des Tra nsmutationssystems der Dirigenten
q2, ..., Q]. des Körpers (P; q±, q2, ..., Qk) un verändert den-
selben Wert an nimmt (einwertig ist).
Bei einer Transmutation ( @2 ''' ) werden im allgemeinen
\Qii $2i ■ ■ ■ QkJ
Qyi> Qzi> • • •> Qki nicht rationale Funktionen von q2, ..., o/t. sein, daher
nicht einmal dem Körper (P; q2, ..., pZi.) angehören, geschweige denn
bis auf die Reihenfolge mit den Größen Qi,Q2,---,Qk übereinstimmen,
also Permutationen der Größen qx, q2, ..., Qj. werden. Im Trans-
mutationssystem der Dirigenten Qi,Q2,-..,Qk des Körpers (P; Qz>
• ■} Qk) befindet sich aber mindestens eine Permutation, nämlich die
identische. Wir beweisen nunmehr
Satz 5. Die unter den s Transmutationen der Diri-
genten Qu q2, •. Qj; des Körpers (P; q2, ..., q^ enthaltenen
Permutationen bilden eine Permutationsgruppe.
A = -2 ’' ‘ 'fc und B — ( ‘ ) seien irgend zwei
\t?ai Qa2 • • • Qaky \Qbit Qb2 • • ■ Qb];/
im Transmutationssystem der s Transmutationen enthaltene Permuta-
tionen. Ist 2(@15 q2, . .Qj.) = 0 irgend eine richtige Gleichung zwischen
q2, ..., Qk mit Koeffizienten aus P, so kann man auf sie als richtige
Gleichung die Permutation A = ( @2 " ' \ da sie voraussetzungs-
klar Q«2 ‘ ■ • QakJ
gemäß dem Transmutationssystem angehört, anwenden und erhält
die ebenfalls richtige Gleichung 2 (@ai, @a2, ..., @ajk)=0. Auch
die Permutation B = ( \ die man auch schreiben kann
\£?&1 Qb2 • • • QbkJ
B = f -ai ‘ ‘ @ak 'l gehört nach Voraussetzung dem System der
s Transmutationen an und ist daher auf die zuletzt gefundene
Gleichung 2 (oai, q(12, ..., Qaj.) — 0 anwendbar; hierdurch ergibt sich
^bai, Qi>a2, • • Qbaj) = O. Diese Gleichung besagt aber, daß man die
aus A und B komponierte Permutation AB=(^1 ) auf
jede richtige Gleichung Z (^x, q2, ..ofc) — 0 ausführen darf. Die Per-