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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0015
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d, Galoisschen Theorie. 15
mau nach Satz 1 des § 1 in jeder richtigen Gleichung 2 (ap ct2,..., ctj = 0
die zwischen ap n2,..an besteht und Koeffizienten aus P hat, die letzt-
genannten Größen durch a±i, a2l, ani ersetzen, und es ist auch stets
2 (ali} a2i, . ■ani) = 0. Ist l irgend eine der Zahlen 1,2,..., n, also
Wurzel von /(a;) = 0, mithin = 0, so folgt aus dieser Gleichung
infolge des zuletzt augegebenen Resultats f (azi) = 0. Daher sind ebenso
wie alf a2, ..an stets auch ali} a2i, ... , ani Wurzeln der Gleichung
f (x) = 0. Nach Voraussetzung sollen die Wurzeln ax, a2, ..an, wie
dies im vorigen § auch von qx, q2, ..., qj. vorausgesetzt war, sämtlich
untereinander verschieden sein; mithin sind nach dem Schlußresultat
des Satzes 2 niemals zwei unter den Größen alif a2i, ..., ani bei festem
i einander gleich, und als Wurzeln von f (x) — 0 stimmen demnach
an-, a2„ ..., ani, abgesehen von der Reihenfolge mit ax, an überein.
Sämtliche für die s Transmutationen ( ‘~) des § 1 tretenden
\(?li • • • Q~ki/
Transmutationen ( 1 02 ) der durch die Wurzeln al5a9,..., a„
W a2i ... ct^y -
der Gleichung /’(rr)=O bestimmten Dirigenten des Körpers (P; av a2,
..., aH) sind demnach ausnahmslos Permutationen. Nach Satz 5 des
S 1 bildet folglich das Transmutationssystem (at CJ"2 ''' Cln'\ der
Dirigenten ct1, a2, ..., aw eine Permutationsgruppe. Nach Satz 4 des
S 1 haben ihre Permutationen | O1 ö‘2 ’ ’ ‘ ) und auch nur sie allein
die charakteristische Eigenschaft, auf alle richtigen Gleichungen zwischen
den Wurzeln a1, a2, . ,.,an der vorgelegten Gleichung f (P) = 0 mit
Koeffizienten aus P anwendbar zu sein. Diese Permutationsgruppe
heißt nach dem allgemein üblichen Sprachgebrauch die GALOissche
Gruppe der Gleichung f(x) = 0.1) Bezeichnet man noch die Grad-
zahlen der Gleichungen (x) = 0, fz(x’, a,) = 0, f3 (x; a2) = 0,
a2,..., = 0 entsprechend denen der Gleichungen
V1 (x) = 0, A2 (x; ^i) = 0, V3 (x; = 0,..., Xjc (x‘, q2, ..., O&—1)“~ 0
auch mit h1, h2, ..., hn, so gibt es nach Satz 2 des § 1 genau s -
li1h2...hn von einander verschiedene Transmutationen, hier Permu-
tationen (ai a2 ■■■ an \ der Galois sehen Gruppe der Gleichung
kaxi a2i ... anJ 11 ö
f {x) = 0. Die Galoissehe Gruppe von f (x} = 0 hat also, wie man
2) Die Entdeckung, daß zu jeder Gleichung f («) = 0 eine Gruppe, die
GAioissche Gruppe, gehört, verdankt man bekanntlich den klassischen Unter-
suchungen von E. Galois. Er führt diese Gruppe, wie es auch heute noch üblich
ist (vgl. § 4), mit Hilfe einer primitiven Funktion ein. Vgl. Oeuvres de Galois
par Picard, Paris 1897, p. 39.
mau nach Satz 1 des § 1 in jeder richtigen Gleichung 2 (ap ct2,..., ctj = 0
die zwischen ap n2,..an besteht und Koeffizienten aus P hat, die letzt-
genannten Größen durch a±i, a2l, ani ersetzen, und es ist auch stets
2 (ali} a2i, . ■ani) = 0. Ist l irgend eine der Zahlen 1,2,..., n, also
Wurzel von /(a;) = 0, mithin = 0, so folgt aus dieser Gleichung
infolge des zuletzt augegebenen Resultats f (azi) = 0. Daher sind ebenso
wie alf a2, ..an stets auch ali} a2i, ... , ani Wurzeln der Gleichung
f (x) = 0. Nach Voraussetzung sollen die Wurzeln ax, a2, ..an, wie
dies im vorigen § auch von qx, q2, ..., qj. vorausgesetzt war, sämtlich
untereinander verschieden sein; mithin sind nach dem Schlußresultat
des Satzes 2 niemals zwei unter den Größen alif a2i, ..., ani bei festem
i einander gleich, und als Wurzeln von f (x) — 0 stimmen demnach
an-, a2„ ..., ani, abgesehen von der Reihenfolge mit ax, an überein.
Sämtliche für die s Transmutationen ( ‘~) des § 1 tretenden
\(?li • • • Q~ki/
Transmutationen ( 1 02 ) der durch die Wurzeln al5a9,..., a„
W a2i ... ct^y -
der Gleichung /’(rr)=O bestimmten Dirigenten des Körpers (P; av a2,
..., aH) sind demnach ausnahmslos Permutationen. Nach Satz 5 des
S 1 bildet folglich das Transmutationssystem (at CJ"2 ''' Cln'\ der
Dirigenten ct1, a2, ..., aw eine Permutationsgruppe. Nach Satz 4 des
S 1 haben ihre Permutationen | O1 ö‘2 ’ ’ ‘ ) und auch nur sie allein
die charakteristische Eigenschaft, auf alle richtigen Gleichungen zwischen
den Wurzeln a1, a2, . ,.,an der vorgelegten Gleichung f (P) = 0 mit
Koeffizienten aus P anwendbar zu sein. Diese Permutationsgruppe
heißt nach dem allgemein üblichen Sprachgebrauch die GALOissche
Gruppe der Gleichung f(x) = 0.1) Bezeichnet man noch die Grad-
zahlen der Gleichungen (x) = 0, fz(x’, a,) = 0, f3 (x; a2) = 0,
a2,..., = 0 entsprechend denen der Gleichungen
V1 (x) = 0, A2 (x; ^i) = 0, V3 (x; = 0,..., Xjc (x‘, q2, ..., O&—1)“~ 0
auch mit h1, h2, ..., hn, so gibt es nach Satz 2 des § 1 genau s -
li1h2...hn von einander verschiedene Transmutationen, hier Permu-
tationen (ai a2 ■■■ an \ der Galois sehen Gruppe der Gleichung
kaxi a2i ... anJ 11 ö
f {x) = 0. Die Galoissehe Gruppe von f (x} = 0 hat also, wie man
2) Die Entdeckung, daß zu jeder Gleichung f («) = 0 eine Gruppe, die
GAioissche Gruppe, gehört, verdankt man bekanntlich den klassischen Unter-
suchungen von E. Galois. Er führt diese Gruppe, wie es auch heute noch üblich
ist (vgl. § 4), mit Hilfe einer primitiven Funktion ein. Vgl. Oeuvres de Galois
par Picard, Paris 1897, p. 39.