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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0017
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 17
von f (x) = 0 angehören., seinen Wert bei. Dieser muß daher nach dem
zuletzt bewiesenen Hauptsatz 2 im Körper P gelegen sein, das heißt:
er muß sich nach der besonderen Wahl von P durch die Koeffizienten
von S (a-p ct2, ..., a.J und durch die Koeffizienten c0, c15 ...,cn von
f (a;) = 0 ausdrücken lassen.
Auf Grund der voraufgehenden Sätze 1 und 2 formulieren wir dem
Theorem 4 des vorigen § entsprechend:
Satz 3. Notwendig und hinreichend dafür, daß eine
rationale Funktion //(a1? a2, • • •> an) der Wurzeln von f(x) — 0
mit Koeffizienten aus P einen Wert aus dem Körper P
besitzt, ist, daß sie bei allen Permutationen der Galois-
schen Gruppe von f(x) = Q denselben Wert an nimmt (ein-
wertig ist).
• • ■> I n 0) -
(x—aj (x—a2) ...(x — a
Wir bemerken noch, daß die von uns benützte Gleichungskette
ihrer Konstruktion nach so beschaffen ist, daß (x) Teiler von f (.r),
f9 (x; Teiler von -LS00) f9(x; a,, a9) Teiler von 7 -v,
’ 7 x-a± 3 1 7 (a;—ax) (a;—a2)
und so weiter schließlich fn(x-, ax, a2, . . ., aB_]) Teiler von
,--1 , v-v sein muß. Hiernach lassen sich die soge-
(^-«i) (x—a2) ... (x-a^)
nannten affektlosen Gleichungen, d. h. diejenigen Gleichungen, deren
Galois sehe Gruppe die-symmetrische Gruppe mit n (n — 1) (« — 2) ... 1
Permutationen ist, charakterisieren. Notwendig und hinreichend für
die Affektlosigkeit einer Gleichung /' (a;) = 0 vom n-ten Grade erweist
sich, daß die Gleichungen der durch die Wurzeln ax, ct2, ..., an von
f (P) = 0 festgelegten Gleichuugskette die Gradzahlen n, n — 1, n—2, ..., 1
besitzen, also £ (a?) = f(x), /2 (a;) = f3 (x- ax, a2) -
f(x) 1 • 1 n
r wird.1)
Auch die Galois sch en Gleichungen oder Normal gl ei-
ch ungen, d. h. die in P irreduziblen Gleichungen, bei denen sich alle
Wurzeln als rationale Funktionen einer einzigen a± mit Koeffizienten
aus P ausdrücken lassen, können durch die mittels der Wurzeln alf
a2, ... an von f (a?) — 0 festgelegte Gleichungskette gekennzeichnet
werden. Für eine Normalgleichung f (x) = 0 müssen die Gradzahlen
der durch die Wurzeln a1,a2, ...aM festgelegten Gleichungskette
n, 1, 1, 1, ..., 1 lauten; es muß also fl(x'}==f(x),f2(x-,a^ = x—-a2 -
Ü Vgl. hierzu 0. Perron, Über Gleichungen ohne Affekt, diese Sitzungs-
berichte 1923, 3. Abhandlung.
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von f (x) = 0 angehören., seinen Wert bei. Dieser muß daher nach dem
zuletzt bewiesenen Hauptsatz 2 im Körper P gelegen sein, das heißt:
er muß sich nach der besonderen Wahl von P durch die Koeffizienten
von S (a-p ct2, ..., a.J und durch die Koeffizienten c0, c15 ...,cn von
f (a;) = 0 ausdrücken lassen.
Auf Grund der voraufgehenden Sätze 1 und 2 formulieren wir dem
Theorem 4 des vorigen § entsprechend:
Satz 3. Notwendig und hinreichend dafür, daß eine
rationale Funktion //(a1? a2, • • •> an) der Wurzeln von f(x) — 0
mit Koeffizienten aus P einen Wert aus dem Körper P
besitzt, ist, daß sie bei allen Permutationen der Galois-
schen Gruppe von f(x) = Q denselben Wert an nimmt (ein-
wertig ist).
• • ■> I n 0) -
(x—aj (x—a2) ...(x — a
Wir bemerken noch, daß die von uns benützte Gleichungskette
ihrer Konstruktion nach so beschaffen ist, daß (x) Teiler von f (.r),
f9 (x; Teiler von -LS00) f9(x; a,, a9) Teiler von 7 -v,
’ 7 x-a± 3 1 7 (a;—ax) (a;—a2)
und so weiter schließlich fn(x-, ax, a2, . . ., aB_]) Teiler von
,--1 , v-v sein muß. Hiernach lassen sich die soge-
(^-«i) (x—a2) ... (x-a^)
nannten affektlosen Gleichungen, d. h. diejenigen Gleichungen, deren
Galois sehe Gruppe die-symmetrische Gruppe mit n (n — 1) (« — 2) ... 1
Permutationen ist, charakterisieren. Notwendig und hinreichend für
die Affektlosigkeit einer Gleichung /' (a;) = 0 vom n-ten Grade erweist
sich, daß die Gleichungen der durch die Wurzeln ax, ct2, ..., an von
f (P) = 0 festgelegten Gleichuugskette die Gradzahlen n, n — 1, n—2, ..., 1
besitzen, also £ (a?) = f(x), /2 (a;) = f3 (x- ax, a2) -
f(x) 1 • 1 n
r wird.1)
Auch die Galois sch en Gleichungen oder Normal gl ei-
ch ungen, d. h. die in P irreduziblen Gleichungen, bei denen sich alle
Wurzeln als rationale Funktionen einer einzigen a± mit Koeffizienten
aus P ausdrücken lassen, können durch die mittels der Wurzeln alf
a2, ... an von f (a?) — 0 festgelegte Gleichungskette gekennzeichnet
werden. Für eine Normalgleichung f (x) = 0 müssen die Gradzahlen
der durch die Wurzeln a1,a2, ...aM festgelegten Gleichungskette
n, 1, 1, 1, ..., 1 lauten; es muß also fl(x'}==f(x),f2(x-,a^ = x—-a2 -
Ü Vgl. hierzu 0. Perron, Über Gleichungen ohne Affekt, diese Sitzungs-
berichte 1923, 3. Abhandlung.
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