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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0033
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 33
muß das Funktionensystem (oW2, Q2a,2,..., Qka2) (.J — L 2,..., Z) von
den zwei bereits betrachteten Funktionensystemen Oj (qv o2, .. .,
(j = 1,2,..., Z) und Gj {q1Ui , o2(li, ... QkaJ (j = 1,2,..., T) verschieden
sein; denn nur durch die Transmutationen von P«o ®i2 .(0); {«o) ändert
sich das Ausgangsfunktionensystem o?- (pp q2, .. ., Q^) (j — 1, 2,..., Z)
nicht und bloß durch die Transmutationen von Pftj S12 (1) ? geht
das Ausgangsfunktionensystem in Oj (plöJ, @2ai,..., Qut^) (j — F 2,..., Z)
über. Bildet man mittels P(to den Komplex P^ <S12 (2\{«2}> so erhält
man, da dieser Komplex zu einem neuwertigen Funktionensystem
G (ßia2> Qz«2> ■ • •’ QkaJ (j = 1, 2, ..., Z) führt, weitere s12 ... 2 Trans-
mutationen aus <E>, die von den bereits vorhandenen 2 s12 . .. z ver-
schieden sind. Fährt man auf diese Weise fort, aus S immer neue
Transmutationen herauszugreifen, bis S erschöpft ist, so findet man
die Zerlegung:
(g — P g (O) I p g (!) i i p g (t—i), .
— X®o ^12 ... l {a0} 1 rar ^12 .. i {®i} F • ■ • “ r «4_x ^12 . .. Z {«Z -1} ,
, . , S S .
wobei t = - = ——- ist.
S12 • • • Z h ' 2 • • • V
Da op o2,.. ., oz die Lösungen des Gleichungssystems 1^ (Y) = 0,
F2 Og <h) = ^3 CG öi> °z) = 0, . . ., Tz (#; op o2, . .., g^ = 0 sind,
bestehen die Relationen Yt (g1 (qv o2, . .., pD) = 0>
I2 (*-*2 (öl’ Ö2’ • • •’ Ö7c)’ G (öl’ Ö2’ • • ’’ Q kty = 0,
^3 (<>3 ((?1> Ö2’ • • ■> Qk)"’ °1 (öl’ Ö2’ • • •’ Qk)> a2 (öl’ Ö2’ ” ’ •’ Öz)) — • • •>
*Z (,°l (öl’ Ö2’ • ■ ’’ ÖZ*)’ °1 (öl’ 0'2’ • ' •’ ÖZ')’ ö2 (öl’ Ö2’ ■ ’ ’’ öz)> • • •’
°l-l (öl’ Ö2’ • • •’ ÖZ')) = 0.
Auf diese richtigen Gleichungen zwischen Oj, p2; .. ., mit Koeffi-
zienten aus Blassen sich die Transmutationen aus <5 anwenden. Ist Pf -
/ öi Ö2 • • • Öz i ejne solche, so ergibt sich hierdurch K = 0
köli Ö2Z • • • ÖzJ ’ & 1 V IV ,
-^2 (*-*21’ ^li) ~ 0’ P3 (^30 Gi’ ^2i) = 0’ • • •’ 0 Z (^Z<’ Gi’ ^2« • • •’ ÖZ—li) = 0’
wobei o?'i = Gj Q2i,.., Q^i) 0 = 1, 2, . . . Z).
Wie oben nachgewiesen wurde, existieren genau t verschiedene
Systeme von je Z Funktionen G}i, o.2i, . . ., g^ (i — 0, 1, 2, . . ., t— 1),
die den t Komplexen P„. S12 entsprechen. Es gibt also
t = t. t2 . .. t, Symbole ( °l °2 ’ ’ ’ °l )> deren Nenner nicht überein-
stimmen, so daß o2i, . . ., oti Lösungen der Gleichungskette
) j 0, d2 (x,öyil = 0’ -) 3 (^ ’ ^11’^21) —()’•••’ z (^’ Fii’ ^2Z’- • •> ^z—iz)
= 0 sind. Da das Produkt der Grade der Gleichungen auch gleich t
ist, hat man in ( O1 °2 ‘ j aHe Transmutationen der Dirigenten
Viz <z2i . . . Gliyl &
g^ o2, .... o2 des Körpers (P; ot, a2, .... oz), wobei gv o2, ...,
Lösungen der Gleichungskette (x) = 0, Y2 (,z; oj = 0, . . .,
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muß das Funktionensystem (oW2, Q2a,2,..., Qka2) (.J — L 2,..., Z) von
den zwei bereits betrachteten Funktionensystemen Oj (qv o2, .. .,
(j = 1,2,..., Z) und Gj {q1Ui , o2(li, ... QkaJ (j = 1,2,..., T) verschieden
sein; denn nur durch die Transmutationen von P«o ®i2 .(0); {«o) ändert
sich das Ausgangsfunktionensystem o?- (pp q2, .. ., Q^) (j — 1, 2,..., Z)
nicht und bloß durch die Transmutationen von Pftj S12 (1) ? geht
das Ausgangsfunktionensystem in Oj (plöJ, @2ai,..., Qut^) (j — F 2,..., Z)
über. Bildet man mittels P(to den Komplex P^ <S12 (2\{«2}> so erhält
man, da dieser Komplex zu einem neuwertigen Funktionensystem
G (ßia2> Qz«2> ■ • •’ QkaJ (j = 1, 2, ..., Z) führt, weitere s12 ... 2 Trans-
mutationen aus <E>, die von den bereits vorhandenen 2 s12 . .. z ver-
schieden sind. Fährt man auf diese Weise fort, aus S immer neue
Transmutationen herauszugreifen, bis S erschöpft ist, so findet man
die Zerlegung:
(g — P g (O) I p g (!) i i p g (t—i), .
— X®o ^12 ... l {a0} 1 rar ^12 .. i {®i} F • ■ • “ r «4_x ^12 . .. Z {«Z -1} ,
, . , S S .
wobei t = - = ——- ist.
S12 • • • Z h ' 2 • • • V
Da op o2,.. ., oz die Lösungen des Gleichungssystems 1^ (Y) = 0,
F2 Og <h) = ^3 CG öi> °z) = 0, . . ., Tz (#; op o2, . .., g^ = 0 sind,
bestehen die Relationen Yt (g1 (qv o2, . .., pD) = 0>
I2 (*-*2 (öl’ Ö2’ • • •’ Ö7c)’ G (öl’ Ö2’ • • ’’ Q kty = 0,
^3 (<>3 ((?1> Ö2’ • • ■> Qk)"’ °1 (öl’ Ö2’ • • •’ Qk)> a2 (öl’ Ö2’ ” ’ •’ Öz)) — • • •>
*Z (,°l (öl’ Ö2’ • ■ ’’ ÖZ*)’ °1 (öl’ 0'2’ • ' •’ ÖZ')’ ö2 (öl’ Ö2’ ■ ’ ’’ öz)> • • •’
°l-l (öl’ Ö2’ • • •’ ÖZ')) = 0.
Auf diese richtigen Gleichungen zwischen Oj, p2; .. ., mit Koeffi-
zienten aus Blassen sich die Transmutationen aus <5 anwenden. Ist Pf -
/ öi Ö2 • • • Öz i ejne solche, so ergibt sich hierdurch K = 0
köli Ö2Z • • • ÖzJ ’ & 1 V IV ,
-^2 (*-*21’ ^li) ~ 0’ P3 (^30 Gi’ ^2i) = 0’ • • •’ 0 Z (^Z<’ Gi’ ^2« • • •’ ÖZ—li) = 0’
wobei o?'i = Gj Q2i,.., Q^i) 0 = 1, 2, . . . Z).
Wie oben nachgewiesen wurde, existieren genau t verschiedene
Systeme von je Z Funktionen G}i, o.2i, . . ., g^ (i — 0, 1, 2, . . ., t— 1),
die den t Komplexen P„. S12 entsprechen. Es gibt also
t = t. t2 . .. t, Symbole ( °l °2 ’ ’ ’ °l )> deren Nenner nicht überein-
stimmen, so daß o2i, . . ., oti Lösungen der Gleichungskette
) j 0, d2 (x,öyil = 0’ -) 3 (^ ’ ^11’^21) —()’•••’ z (^’ Fii’ ^2Z’- • •> ^z—iz)
= 0 sind. Da das Produkt der Grade der Gleichungen auch gleich t
ist, hat man in ( O1 °2 ‘ j aHe Transmutationen der Dirigenten
Viz <z2i . . . Gliyl &
g^ o2, .... o2 des Körpers (P; ot, a2, .... oz), wobei gv o2, ...,
Lösungen der Gleichungskette (x) = 0, Y2 (,z; oj = 0, . . .,
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