Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 35

Größen 22, •••■> Qk-> also im besondern die notwendig in S enthaltene
identische Transmutation.

Dem Folgenden schicken wir zwei Hilfsbetrachtungen voraus:
I. Ist Sa = (Q1f ■■■ Qk
Wi (2i, 22, • • -, Qk) 992 (2i, 22, • ■ •, Qk) ■■■ <Pk (2i, 22, • • •, 2D.
eine automorphe Transmutation aus ® und bedeutet Pfi — f
1 e \ 2i& 22& • ■ • Qkb
eine beliebige Transmutation aus <&, so stellt auch
( 2i 22 ■ Qk A
V?9! • • • Qlcb) Tz Qzb1) • • •? Qkb) • • • cPk \Qlby Qzb) • • •? Qkb) J

eine Transmutation aus S dar.

Ist nämlich '/. (21, 22, • • • ? Qk) = 0 irgendeine richtige Gleichung
zwischen £>n q2, ..., mit Koeffizienten aus P, so kann man auf diese
die Transmutation Sa anwenden und erhält
(jPi (2i, 22, • ■ ■, 2fcb 9Ü (21? 22, • • •, 2fc), • • •, 99fc (2i, 22, • • •, Qk)) ~ 0-
Da P& auch eine Transmutation aus S ist, läßt die letzte Gleichung
die Transmutation Pö zu. Hierdurch ergibt sich
(991 (21&, 22& •>•'•') Qkb)> 9Ü (21&, Qibi • • •, 2Zs&), • • •, (Pk (Qib •> Qib', • • •, Qkb)) ~ (b
Jede richtige Gleichung zwischen @1? @2, ..., Qk mit Koeffizienten
aus P gestattet demnach die unter I angegebene Transmutation. Wir
bezeichnen diese Transmutation als das Produkt P& -
f 2i 22 • ■ • Qk \(Qi Qz •■•Qk)
Wi (2n 22, • • •, Qk) ¥2 (2i, 22, - • •, Qk) ■■■(Pk (2i, 22’ • • •, Qk)J \ 2iö Qzb • • • Qkb/
= / 2i 22 ■ ■ ■ Qk \
\9h (2iö, 22&, • • •, Qkb) 9^2 (2iö, 22&, • • •, Qkb) • • • <Pk (2i&> Qzb, ■ • •> Qkb)/
Eine automorphe Transmutation Sa aus <5 läßt sich demnach auf ihrer
rechten Seite mit jeder beliebigen Transmutation Pö aus S komponieren.1)

D Die hier definierte Produktbildung innerhalb des Körpers (F; q2, .. Qk),
bei der der linke Faktor eine automorphe Transmutation ist, geschieht in völliger
Übereinstimmung mit der auf S. 28 im § 3 eingeführten. Da Sa:
( Ql (?2 ■ ■ ■ Qk A
\<Pi(Qi, Q2, ■■ ■, Qk) cPi(Qi, Qi, ■ • Qk) ••• (öl, •• •> 2Ü7
und (~A ~2 • ■ ■ Qk \
\ <P1 (Qib, Qib, • • •, Qkb) <P2 (Qib, Qib, • • •, Qkb) • • • Vk ^Qib. Q-ib, ■ • •, Qkb))
Transmutationen aus © sind, folgt nach dem Hilfssatz auf S. 27, daß
22. ^2 (21. 22. Qk) ....(pktQ!, q2, ...,Qk)\
^VitQib, Qib, • •Qkb) <Pz(Qib- Qib, • • ■, Qkb) <Pk (Qib, Q2b, • ■ Q^)
eine Transmutation der Dirigenten (pr (pj, g2, ■-■,Qk), <p2 (?i, Q2, Qk),
(Pk^Qi, Q2, ■■ ■, Qk) darstellt; diese ist zu Sa konsekutiv. Denkt man sich Pö als
zu Sa konsekutive Transmutation geschrieben, so hat man Sa P^ —
(Ql (?2 . ■ ■ Qk \
W1 (?i. Q2, • • -, Qk) (p2 ((>], q2, .. Qk) ... cpk (Ql, Q2, Qk)/
(Vi^Qi, Q2, ■■;Qk) (pz(Qi, Q2, ■■;Qk) ■•■<Pk(Qi, Q2, • • •> Qk) ) -
^Vl (.?!&> Qib, •• •> Qkb) (fi^Qib, Q2b, ■ ’ Qkb) ••• <P1/Qib, Qib- ■ • Qkb)
(Qi Q2 ... Qk \
^Vi (.Qib, Qib, ■ ■ Qkb) T2 (Qib, Qib, • ■ •> Qkb) ■ ■ • <Pk (Qib, Qib, ■ ■ -, Qkb)/
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