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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0037
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 37
alle richtigen Gleichungen zwischen ola, q2ci , o1M mit Koeffizienten
aus Fanwenden lassen, also auch auf das Gleichungssystem (c). Mithin
ergeben sich die unter (2) in II hingeschriebenen Gleichungen, deren
Zutreffen wir beweisen wollen.
Von den unter II erwähnten Tatsachen ist jetzt nur noch zu
zeigen, daß Z eine Transmutation aus $ ist, d. h. auf alle richtigen
Gleichungen z (g15 p2, . 2k) = 0 mit Koeffizienten aus P anwendbar
ist. Zum Zwecke dieses Nachweises schreiben wir die zu untersuchende
Gleichung nach (b) in der Form
(ffl 22a 5 • • '5 Qka)> G (21«’ Qia •>••••> Qkah • • vk (21«’ 22« 5 • • •’ Qka)} 0*
Wendet man auf diese Gleichung zwischen den Dirigenten oka
die Transmutation [ -ia °2a ' ’' °ka ) an, die wir auch bereits oben be-
\ 2i 22 • • • 2k /
nützt haben, so ergibt sich
(ffi (2u 22’ • • • 5 Qk\ v2 (2i 5 22 ’ • • • ’ 2k)’ • • • ’ vk (2i’ 22’ • • • i Qk)) 0;
mithin ist Z auf jede richtige Gleichung zwischen , g2 ...,2k an~
wendbar, also eine Transmutation aus S. Daß Z eine automorphe
Transmutation ist, geht aus seiner Form hervor.
Bildet man schließlich das Produkt Sa Z-.
( Qa. 22 • • • 2k A .
k.9h. (2i, 22 5 • • • 5 2fc) ff'2 (2i ’ 22, • • • 5 2fc) • • • Wk (2i > 22 5 • • • •> Qk)J
C2i 22 • • • Qk A _
Vi (215 225 • • • 5 2k) ^2 <21 5 22 5 • • • 5 2k) • • • Dt (215 225 • • •’ 2k)7
<2i
x*?9! (V1 (215 225 5 2k); r2 (215 22 5 • • • ’ 2k) • • • vk (21 ’ 225 • • • ’ 2k-)) • • •
••• 2k A
• • • <Pk (g (21 5 225 • • •’ 2k)5 ^2 (21> 22’ • ••’ 2k)’ • • •’ vk (21’ 22’ • • •> Qk^Z
so ist dieses auf Grund der Relation (2) gleich ( Das Ent-
\2i22---2fc/
sprechende würde sich auch für das Produkt Z Sa aus den Gleichungen
(1) ergeben.
Aus I und II folgt der wichtige
Satz 1. Die Gesamtheit der in S enthaltenen auto-
morphen Transmutationen bildet eine Gruppe, die maxi-
male automorphe Transmutationsgruppe der Dirigenten
2i’ 22’ •• •; 2k des Körpers (P; q2, .. ., qj.).
Tatsächlich erfüllen die in S enthaltenen automorphen Transmu-
tationen alle an eine Gruppe zu stellenden Bedingungen. Hat man
irgend zwei automorphe Transmutationen Sa und Sb aus so lassen
sie sich nach I auf Seite 35 stets komponieren; man kann also ihr
alle richtigen Gleichungen zwischen ola, q2ci , o1M mit Koeffizienten
aus Fanwenden lassen, also auch auf das Gleichungssystem (c). Mithin
ergeben sich die unter (2) in II hingeschriebenen Gleichungen, deren
Zutreffen wir beweisen wollen.
Von den unter II erwähnten Tatsachen ist jetzt nur noch zu
zeigen, daß Z eine Transmutation aus $ ist, d. h. auf alle richtigen
Gleichungen z (g15 p2, . 2k) = 0 mit Koeffizienten aus P anwendbar
ist. Zum Zwecke dieses Nachweises schreiben wir die zu untersuchende
Gleichung nach (b) in der Form
(ffl 22a 5 • • '5 Qka)> G (21«’ Qia •>••••> Qkah • • vk (21«’ 22« 5 • • •’ Qka)} 0*
Wendet man auf diese Gleichung zwischen den Dirigenten oka
die Transmutation [ -ia °2a ' ’' °ka ) an, die wir auch bereits oben be-
\ 2i 22 • • • 2k /
nützt haben, so ergibt sich
(ffi (2u 22’ • • • 5 Qk\ v2 (2i 5 22 ’ • • • ’ 2k)’ • • • ’ vk (2i’ 22’ • • • i Qk)) 0;
mithin ist Z auf jede richtige Gleichung zwischen , g2 ...,2k an~
wendbar, also eine Transmutation aus S. Daß Z eine automorphe
Transmutation ist, geht aus seiner Form hervor.
Bildet man schließlich das Produkt Sa Z-.
( Qa. 22 • • • 2k A .
k.9h. (2i, 22 5 • • • 5 2fc) ff'2 (2i ’ 22, • • • 5 2fc) • • • Wk (2i > 22 5 • • • •> Qk)J
C2i 22 • • • Qk A _
Vi (215 225 • • • 5 2k) ^2 <21 5 22 5 • • • 5 2k) • • • Dt (215 225 • • •’ 2k)7
<2i
x*?9! (V1 (215 225 5 2k); r2 (215 22 5 • • • ’ 2k) • • • vk (21 ’ 225 • • • ’ 2k-)) • • •
••• 2k A
• • • <Pk (g (21 5 225 • • •’ 2k)5 ^2 (21> 22’ • ••’ 2k)’ • • •’ vk (21’ 22’ • • •> Qk^Z
so ist dieses auf Grund der Relation (2) gleich ( Das Ent-
\2i22---2fc/
sprechende würde sich auch für das Produkt Z Sa aus den Gleichungen
(1) ergeben.
Aus I und II folgt der wichtige
Satz 1. Die Gesamtheit der in S enthaltenen auto-
morphen Transmutationen bildet eine Gruppe, die maxi-
male automorphe Transmutationsgruppe der Dirigenten
2i’ 22’ •• •; 2k des Körpers (P; q2, .. ., qj.).
Tatsächlich erfüllen die in S enthaltenen automorphen Transmu-
tationen alle an eine Gruppe zu stellenden Bedingungen. Hat man
irgend zwei automorphe Transmutationen Sa und Sb aus so lassen
sie sich nach I auf Seite 35 stets komponieren; man kann also ihr