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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0040
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Alfred Loewy:
so hätte man cp^ (@1Z, •■••> Qki) ~ (.Qiii Qzi, Qki) — 1, 2, ..
Wendet man auf diese Gleichungen zwischen qu^ q21, ..., die Trans-
mutation ••• ^7^ der Dirigenten qu,q21,..., qJc1 des Körpers
f?iz> Q211 • • •? Qki) ans so erhält man (p^ (px, p2, ..pZ;) =ipi (px, p2, • • •? Qk)
(i = 1, 2, ..&), also Sa = Sb, was der Voraussetzung der Ungleichheit
von Sa und Sb widerspricht. Hiermit ist gezeigt, daß der Komplex
S« Pz nur verschiedene Transmutationen umfaßt.
Wir weisen weiter nach, daß, wenn Pm irgendeine Transmutation
aus S bedeutet, die aber nicht aus dem Komplex <&a Pz entnommen
sein soll, die zwei Komplexe <5,t Pz und Pm keine übereinstimmenden
Transmutationen besitzen. Angenommen, eine Transmutation Sa Pz aus
Pz wäre gleich einer Transmutation Sb POT aus PTO, dann würde
aus Pz = POT durch linkshändige Komposition mit Sb~l folgen,
daß $ö~1 Sa Pz = P?n wäre; diese Gleichung würde aber, da und
Sa, also auch ihr Produkt Sa Gruppenelemente aus <5ft sind, im
Widerspruch zur Wahl von PM besagen, daß Pm aus dem Komplex
<5« P? wäre.
Nimmt man für P1 die identische oder eine beliebige andere
Transmutation aus weiter für P2 eine nicht in <Sa enthaltene
Transmutation aus <5, ferner für P3 eine weder in Px noch in
'Sa P2 befindliche Transmutation aus (&, hierauf für P4 eine nicht in
den bereits verwendeten Komplexen P1? &a P2, <&a P3 auftretende
Transmutation aus S und fährt derart fort, so muß dieser Prozeß not-
wendig zu einer letzten in S befindlichen Transmutation P von fol-
gender Beschaffenheit führen: Der Komplex P? umfaßt nur Trans-
mutationen aus (&; diese sind von allen in den voraufgehenden Kom-
plexen P1? S« P2, ..., P?(,-i auftretenden Transmutationen ver-
schieden, so daß das Transmutationssystem ® durch die ta Komplexe
mit ihren sa- ta Transmutationen erschöpft wird. Hiermit ist die Existenz
der Gälois sehen Zerlegung von <5 nach erwiesen.
Satz 3. Zu jeder automorphen Untergruppe des
Transmutationssystems S der Dirigenten px, Qk des
Körpers (P; @t, p2,..., Qk) gibt es eine, sogar unendlich
viele zugehörige rationale Funktionen oa (px, q2, . . oÄ.)
von px, p2, . . ., Qle mit Koeffizienten aus P; die Funktion
oa (Pi, q2, . . ., Qk) hat also die Eigenschaft, bei allen Trans-
mutationen von denselben numerischen Wert bei-
zubehalten, bei jeder Transmutation von S, die nicht
angehört, einen von a({ verschiedenen Wert anzunehmen.
Alfred Loewy:
so hätte man cp^ (@1Z, •■••> Qki) ~ (.Qiii Qzi, Qki) — 1, 2, ..
Wendet man auf diese Gleichungen zwischen qu^ q21, ..., die Trans-
mutation ••• ^7^ der Dirigenten qu,q21,..., qJc1 des Körpers
f?iz> Q211 • • •? Qki) ans so erhält man (p^ (px, p2, ..pZ;) =ipi (px, p2, • • •? Qk)
(i = 1, 2, ..&), also Sa = Sb, was der Voraussetzung der Ungleichheit
von Sa und Sb widerspricht. Hiermit ist gezeigt, daß der Komplex
S« Pz nur verschiedene Transmutationen umfaßt.
Wir weisen weiter nach, daß, wenn Pm irgendeine Transmutation
aus S bedeutet, die aber nicht aus dem Komplex <&a Pz entnommen
sein soll, die zwei Komplexe <5,t Pz und Pm keine übereinstimmenden
Transmutationen besitzen. Angenommen, eine Transmutation Sa Pz aus
Pz wäre gleich einer Transmutation Sb POT aus PTO, dann würde
aus Pz = POT durch linkshändige Komposition mit Sb~l folgen,
daß $ö~1 Sa Pz = P?n wäre; diese Gleichung würde aber, da und
Sa, also auch ihr Produkt Sa Gruppenelemente aus <5ft sind, im
Widerspruch zur Wahl von PM besagen, daß Pm aus dem Komplex
<5« P? wäre.
Nimmt man für P1 die identische oder eine beliebige andere
Transmutation aus weiter für P2 eine nicht in <Sa enthaltene
Transmutation aus <5, ferner für P3 eine weder in Px noch in
'Sa P2 befindliche Transmutation aus (&, hierauf für P4 eine nicht in
den bereits verwendeten Komplexen P1? &a P2, <&a P3 auftretende
Transmutation aus S und fährt derart fort, so muß dieser Prozeß not-
wendig zu einer letzten in S befindlichen Transmutation P von fol-
gender Beschaffenheit führen: Der Komplex P? umfaßt nur Trans-
mutationen aus (&; diese sind von allen in den voraufgehenden Kom-
plexen P1? S« P2, ..., P?(,-i auftretenden Transmutationen ver-
schieden, so daß das Transmutationssystem ® durch die ta Komplexe
mit ihren sa- ta Transmutationen erschöpft wird. Hiermit ist die Existenz
der Gälois sehen Zerlegung von <5 nach erwiesen.
Satz 3. Zu jeder automorphen Untergruppe des
Transmutationssystems S der Dirigenten px, Qk des
Körpers (P; @t, p2,..., Qk) gibt es eine, sogar unendlich
viele zugehörige rationale Funktionen oa (px, q2, . . oÄ.)
von px, p2, . . ., Qle mit Koeffizienten aus P; die Funktion
oa (Pi, q2, . . ., Qk) hat also die Eigenschaft, bei allen Trans-
mutationen von denselben numerischen Wert bei-
zubehalten, bei jeder Transmutation von S, die nicht
angehört, einen von a({ verschiedenen Wert anzunehmen.