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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0042
42
Alfred Loewy:
G Qu + c2 + ■ • • + ck Qi-i (z' = 2, 3,..., s) verschieden ist, sondern daß
auch letztere untereinander ungleich sind. Bildet man nämlich nach
Satz I des § 3 die Gleichung
i = s
IT (a? — cr QXi — c2 Q2i - • • ~ ck Qki) ~
4=1
so besitzt diese alle ihre Wurzeln in genau derselben Multiplizität.
Wären nun zwei der Größen cx qu -j- c2 g2i + .. . + Cj. Qki («=1,2,..., s)
untereinander gleich, so müßte die Ausgangsfunktion
G 2i + c2 22 + • • • + ci- 2fo
für die wir in der Gleichung
i = s
II (x Cx Qri c2 Q2i . . . {2/^) — 0
i = 1
die Schreibart cT Qn -j- c2 221 4* • • • 4~ ck Qki gewählt haben, eine viel-
fache Gleichungswurzel sein, also im Widerspruch mit ihrer Kon-
struktion als einer primitiven Funktion gleich einer der Größen
G 2ü + c2 Qti + • • • + ck Qki = 2, 3, . . ., s) werden.
ß) An die Stelle der identischen Transmutation JE lassen wir jetzt
eine beliebige automorphe Untergruppe &a des Transmutationssystems ®
treten. Um eine zu®« zugehörige rationale Funktion o« (£x, @2, •.(?fc)
zu bilden, bedienen wir uns einer Unbestimmten /z und einer primi-
tiven Funktion G 2 i 4~ G Qz + • • • + ck Qki deren Konstruktion unter a)
gezeigt ist. Mit ihrer Hilfe definieren wir eine Funktion
V7L (/Z,‘ £2, . . ., QjJ) = II C« + Cx 21 4" C2 22 4* • • • + Ck Qk)>
<5a
hierbei ist das Produkt über alle aus /z-fiG 2i 4" cz 22 4“ • • • 4“ cä: Qk
durch die sa Transmutationen der Gruppe hervorgehenden Funk-
tionen zu erstrecken. Infolge des automorphen Charakters der Trans-
mutationen von ®a ist (/z; £x, 22, • • •? Qk) e^ne Funktion des durch
Adjunktion der Unbestimmten/z erweiterten Körpers (P; ^»2, 2äF
Wir zerlegen nunmehr das Transmutationssystem S nach der in
ihm enthaltenen automorphen Untergruppe ®« und finden die GALOissche
Zerlegung: ® = Px + P2 + ... + Pi(Z, wobei ta = ist. Bei
allen Transmutationen der Gruppe ®>« bleibt (/z; @x, Qz- • • 0 21), w^e
aus seiner Konstruktion hervorgeht, ungeändert. Sei
o2 (Z=1’2""’u
und versteht man hierbei unter Px die identische Transmutation, so ergeben
sich aus XI\ (/.i; qv q2, . . ok), wofür wir abgekürzt (/t) schreiben,
die weiteren Funktionen y^ (/z; qw q21, . . (Z= 2, 3, . . die wir
Alfred Loewy:
G Qu + c2 + ■ • • + ck Qi-i (z' = 2, 3,..., s) verschieden ist, sondern daß
auch letztere untereinander ungleich sind. Bildet man nämlich nach
Satz I des § 3 die Gleichung
i = s
IT (a? — cr QXi — c2 Q2i - • • ~ ck Qki) ~
4=1
so besitzt diese alle ihre Wurzeln in genau derselben Multiplizität.
Wären nun zwei der Größen cx qu -j- c2 g2i + .. . + Cj. Qki («=1,2,..., s)
untereinander gleich, so müßte die Ausgangsfunktion
G 2i + c2 22 + • • • + ci- 2fo
für die wir in der Gleichung
i = s
II (x Cx Qri c2 Q2i . . . {2/^) — 0
i = 1
die Schreibart cT Qn -j- c2 221 4* • • • 4~ ck Qki gewählt haben, eine viel-
fache Gleichungswurzel sein, also im Widerspruch mit ihrer Kon-
struktion als einer primitiven Funktion gleich einer der Größen
G 2ü + c2 Qti + • • • + ck Qki = 2, 3, . . ., s) werden.
ß) An die Stelle der identischen Transmutation JE lassen wir jetzt
eine beliebige automorphe Untergruppe &a des Transmutationssystems ®
treten. Um eine zu®« zugehörige rationale Funktion o« (£x, @2, •.(?fc)
zu bilden, bedienen wir uns einer Unbestimmten /z und einer primi-
tiven Funktion G 2 i 4~ G Qz + • • • + ck Qki deren Konstruktion unter a)
gezeigt ist. Mit ihrer Hilfe definieren wir eine Funktion
V7L (/Z,‘ £2, . . ., QjJ) = II C« + Cx 21 4" C2 22 4* • • • + Ck Qk)>
<5a
hierbei ist das Produkt über alle aus /z-fiG 2i 4" cz 22 4“ • • • 4“ cä: Qk
durch die sa Transmutationen der Gruppe hervorgehenden Funk-
tionen zu erstrecken. Infolge des automorphen Charakters der Trans-
mutationen von ®a ist (/z; £x, 22, • • •? Qk) e^ne Funktion des durch
Adjunktion der Unbestimmten/z erweiterten Körpers (P; ^»2, 2äF
Wir zerlegen nunmehr das Transmutationssystem S nach der in
ihm enthaltenen automorphen Untergruppe ®« und finden die GALOissche
Zerlegung: ® = Px + P2 + ... + Pi(Z, wobei ta = ist. Bei
allen Transmutationen der Gruppe ®>« bleibt (/z; @x, Qz- • • 0 21), w^e
aus seiner Konstruktion hervorgeht, ungeändert. Sei
o2 (Z=1’2""’u
und versteht man hierbei unter Px die identische Transmutation, so ergeben
sich aus XI\ (/.i; qv q2, . . ok), wofür wir abgekürzt (/t) schreiben,
die weiteren Funktionen y^ (/z; qw q21, . . (Z= 2, 3, . . die wir