Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Alfred Lobwy:

Ist S(t im besondere die identische Transmutation P, bei der
jede rationale Funktion von g2, .. ., ok mit Koeffizienten aus P,
also auch jeder einzelne Dirigent p15 g2, ..ok ungeändert bleibt, so ist
der Unterkörper von (P; g2, . . Qk) der Körper (P; px, g2, .. ., Qk)
selbst. Bedeutet demnach ae eine beliebige zu E = (‘ ) zu-
\2i 22 ■ • • 2W
gehörige rationale Funktion von @t, g2, .. ok mit Koeffizienten aus P,
ist also primitiv, so lassen sich p1? p2, . .als rationale Funk-
tionen von oe darstellen. Aus Satz 4 ergibt sich demnach, indem man
durch die identische Transmutation l -1 22 • • • 2* j ersetzt,
\2i 22 • • • 2^-7
Satz 4r Jede primitive oder s-wertige Funktion
°e l.2i, 22, • • •, 2z-)
— solche gibt es unendlich viele — ist nicht nur eine ratio-
nale Funktion von 22, • • •, 2z-, sondern umgekehrt jede der
Größen @x, «2, • • •, 2* läßt sich auch als rationale Funktion
von oe mit Koeffizienten aus P darstellen. Anders aus-
gedrückt: Jede endliche algebraische Erweiterung des Kör-
pers P durch die Größen @x, @2, . .gk läßt sich gleichwertig
als einfache algebraische Erweiterung durch eine einzige
Größe oe auffassen.1)
Der Satz 4 soll noch dadurch ergänzt werden, daß wir die Reduk-
tion des Transmutationssystems S auf eine automorphe Untergruppe
der Dirigenten @x, g2, . . ., gk infolge Adjunktion einer ganz be-
liebigen Größe d, die also nicht rationale Funktion von 21, 22, •••>2&
zu sein braucht, behandeln. Bei Zugrundelegung des Körpers (P; d)
als Grundkörpers bestehe das Transmutationssystem der Dirigenten
2j , 22’ • • •, 2z- ^es Körpers (P; d | ox, 22, • • •, 2z-) aus der automorphen
Gruppe Bildet man nunmehr eine zu zugehörige rationale
Funktion oa (p3, g2, . .der Größen p2, . .., gk mit Koeffizienten
aus P, so gestattet oa alle Transmutationen des Transmutationssystems
der Dirigenten 21,22, •••, 2z- des Grundkörpers (P;. d). Mithin muß
nach dem Satz 3 des § 1 die Funktion oa (@x, p2, ..., @z.) einen Wert
aus dem Grundkörper (P; d) besitzen, also muß o„ = R(d) sein, wobei
E (d) eine rationale Funktion von d mit Koeffizienten aus P bedeutet.
Demnach ergibt sich
’) Die Existenz primitiver Funktionen im Sinne des Satzes 4i ist bereits
von N. H. Abel (Oeuvres 1, p. 547) erkannt worden und bildet das Fundament der
GxLOisschen Theorie bei den üblichen Darstellungen. Die in den Lehrbüchern
der Algebra gegebene Vorschrift für die Konstruktion primitiver Funktionen ist
unnötig kompliziert, auch ist die Benützung der LAGRANGEschen Interpolations-
formel zur Herleitung der Eigenschaften von oe und o« nicht erforderlich.