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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0049
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d- Galoisschen Theorie. 49
Da jede der Funktionen Oj (j — 1, 2, . .., Z) alle Transmutationen
von S(( gestattet und oa eine zu S(( zugehörige rationale Funktion von
o15 Ö2’ • • -i Qk ist, müssen nach dem verallgemeinerten Lagrange sehen
Theorem (Satz 3 des § 3) Z rationale Funktionen x. (oft) — 1, 2, ..Z)
von oa existieren, daß a. == ^. (oa) wird. Wendet man auf diese Z rich-
tigen Gleichungen mit Koeffizienten aus P die Transmutationen eines
der tu Komplexe Pz an, so erhält man: (o.) Pz= (aa)) I<
oder unsymbolisch geschrieben: o. (pH, p2i,..., Qk^) = %. (pa (pH, p2i, ..., pH)).
Nach Satz 6 ist aber
&) e. PJ=(gli, g2i,, g„)) (’ = ’> 2> *.)
das Transmutationssystem der Dirigente oa des Körpers (P; oa); anders
ausgedrückt: (oa) P^ (« = 1, 2, ..Z„) sind die Wurzeln der irredu-
ziblen Gleichung mit Koeffizienten aus P, die durch oa befriedigt wird.
Folglich hat man in Ergänzung des Satzes 6:
Satz 6P Ist neben den in Satz 6 eingeführten Funk-
tionen Oj, o2, .. ., uz noch oa @2, • • • ’ Qk) irgendeine zu der
automorphen Untergruppe von 0 zugehörige rationale
Funktion von p15 p2, pt. mit Koeffizienten aus P, so
existier en Z rationale Funktionen U (o^) (J = 1, 2, ..., Z) von
mit Koeffizienten aus P. Mit ihrer Hilfe läßt sich das
Transmutation ssystem der Dirigenten Oj, cr2, ..., oz des Kör-
pers (P; g^ o2, . . ., <7Z) folgendermaßen schreiben:
^0=1, 2, ..., Q.
\X1 Pai) X2 Pai) ■■■ Xl ^ai)X
Dabei durchlaufen aai = (aa) Pi alle ta Wurzeln der irre-
duziblen Gleichung Zrtten Grades mit Koeffizienten aus P,
die durch die zu zugehörige Funktion oa befriedigt wird.
Wir wählen noch im besondern = p1, g2 = q2, ..g/; = Qk (k = Z).
Im Körper (P; p2, ..., pÄ.) als Grundkörper, bei dem p2, ..pk
bekannt sind, reduziert sich das Transmutationssystem <5 der Dirigenten
ox, p2, ..., pk auf'die Identität E = Bedeutet nun
V Qi Q2 • • • Qk/
°e (ön Ö2, • • Qk) eine zu E zugehörige, also primitive Funktion, so ist
öi = Xi <P}> t?2 = X2 (°e), • • •, Qk = Xk (cQ, wobei /. (ue) (y =1,2,..., Ä)
rationale Funktionen von g mit Koeffizienten aus P sind. Für den
besonderen Fall S„ = K wird die GAroissche Zerlegung von S nach P:
= Px + P2+... -7- Pp wobei s die Anzahl der in ® enthaltenen Trans-
mutationen ist. Mithin ergibt sich aus Satz 6X für unseren Spezial-
fall 0! = ^!, o2 = g2, ..., Ox,. = das Transmutationssystem der Diri-
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Da jede der Funktionen Oj (j — 1, 2, . .., Z) alle Transmutationen
von S(( gestattet und oa eine zu S(( zugehörige rationale Funktion von
o15 Ö2’ • • -i Qk ist, müssen nach dem verallgemeinerten Lagrange sehen
Theorem (Satz 3 des § 3) Z rationale Funktionen x. (oft) — 1, 2, ..Z)
von oa existieren, daß a. == ^. (oa) wird. Wendet man auf diese Z rich-
tigen Gleichungen mit Koeffizienten aus P die Transmutationen eines
der tu Komplexe Pz an, so erhält man: (o.) Pz= (aa)) I<
oder unsymbolisch geschrieben: o. (pH, p2i,..., Qk^) = %. (pa (pH, p2i, ..., pH)).
Nach Satz 6 ist aber
&) e. PJ=(gli, g2i,, g„)) (’ = ’> 2> *.)
das Transmutationssystem der Dirigente oa des Körpers (P; oa); anders
ausgedrückt: (oa) P^ (« = 1, 2, ..Z„) sind die Wurzeln der irredu-
ziblen Gleichung mit Koeffizienten aus P, die durch oa befriedigt wird.
Folglich hat man in Ergänzung des Satzes 6:
Satz 6P Ist neben den in Satz 6 eingeführten Funk-
tionen Oj, o2, .. ., uz noch oa @2, • • • ’ Qk) irgendeine zu der
automorphen Untergruppe von 0 zugehörige rationale
Funktion von p15 p2, pt. mit Koeffizienten aus P, so
existier en Z rationale Funktionen U (o^) (J = 1, 2, ..., Z) von
mit Koeffizienten aus P. Mit ihrer Hilfe läßt sich das
Transmutation ssystem der Dirigenten Oj, cr2, ..., oz des Kör-
pers (P; g^ o2, . . ., <7Z) folgendermaßen schreiben:
^0=1, 2, ..., Q.
\X1 Pai) X2 Pai) ■■■ Xl ^ai)X
Dabei durchlaufen aai = (aa) Pi alle ta Wurzeln der irre-
duziblen Gleichung Zrtten Grades mit Koeffizienten aus P,
die durch die zu zugehörige Funktion oa befriedigt wird.
Wir wählen noch im besondern = p1, g2 = q2, ..g/; = Qk (k = Z).
Im Körper (P; p2, ..., pÄ.) als Grundkörper, bei dem p2, ..pk
bekannt sind, reduziert sich das Transmutationssystem <5 der Dirigenten
ox, p2, ..., pk auf'die Identität E = Bedeutet nun
V Qi Q2 • • • Qk/
°e (ön Ö2, • • Qk) eine zu E zugehörige, also primitive Funktion, so ist
öi = Xi <P}> t?2 = X2 (°e), • • •, Qk = Xk (cQ, wobei /. (ue) (y =1,2,..., Ä)
rationale Funktionen von g mit Koeffizienten aus P sind. Für den
besonderen Fall S„ = K wird die GAroissche Zerlegung von S nach P:
= Px + P2+... -7- Pp wobei s die Anzahl der in ® enthaltenen Trans-
mutationen ist. Mithin ergibt sich aus Satz 6X für unseren Spezial-
fall 0! = ^!, o2 = g2, ..., Ox,. = das Transmutationssystem der Diri-
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