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https://doi.org/10.11588/diglit.43397#0003
Theorie und Anwendung der verallgemeinerten
Abelschen Gruppen.
Die Bezeichnung „verallgemeinerte AßELsche Gruppe“ habe ich in
der Abhandlung: „Über verallgemeinerte endliche ÄBELsche
Gruppen“1) eingeführt. Man könnte auch von „Moduln mit all-
gemeinstem nichtkommutativem Operatorenbereich“ reden, doch scheint
mir für die in Betracht kommenden Untersuchungen die Verwendung
der gruppentheoretischen Ausdrucksweise zweckmäßig. In Zt. wurde
ein Zerlegungssatz bewiesen, der das Analogon zum REMAKschen Satz
über die Zerlegung einer gewöhnlichen endlichen (kommutativen oder
nichtkommutativen) Gruppe in direkte unzerlegbare Faktoren darstellt,
im folgenden handelt es sich vor allem um das Studium der Kom-
positionsreihen. Zunächst wird der Begriff der JoRDANschen
Kompositionsreihe auf unsern Fall übertragen, es wird der zu-
gehörige Isomorphiesatz bewiesen, und es wird gezeigt, daß die ver-
allgemeinerten endlichen AßELschen Gruppen, mit denen wir uns
hauptsächlich beschäftigen, durch die Existenz einer endlichgliedrigen
Jordansehen Kompositionsreihe charakterisiert sind.
Zu weiteren Ergebnissen gelangt man durch gruppentheoretische
Fassung derjenigen Begriffe, die den Untersuchungen von Herrn Loewy
in den Abhandlungen: Über Matrizen- und Differentialkomplexe
I—III2) zugrunde liegen. Ich habe daher die in diesem Zusammen-
hang auftretenden Kompositionsreihen als die „vordere“ und „hin-
tere LoEWYsche Kompositionsreihe“ bezeichnet. Die Loewy-
schen Kompositionsreihen lassen sich benützen zum Beweis zweier
dualistisch gegenüberstehender Zerlegungssätze, deren* einer eine Er-
gänzung eines von E. Noether herrührenden Modul- oder Gruppen-
satzes für den Sonderfall der verallgemeinerten endlichen AßELschen
Gruppen darstellt.
Soweit die abstrakten Untersuchungen; der zweite Teil bringt An-
wendungen, und zwar auf die Idealtheorie, auf die hyper-
*) Math. Zeitschrift Bei. 23 (1925) p. 161—186; in Zukunft mit Zt. zitiert.
2) Math. Annal. 78 (1917) p. 1—51 u. p. 343—368; in Zukunft mit L. I—III
zitiert.
1*
Abelschen Gruppen.
Die Bezeichnung „verallgemeinerte AßELsche Gruppe“ habe ich in
der Abhandlung: „Über verallgemeinerte endliche ÄBELsche
Gruppen“1) eingeführt. Man könnte auch von „Moduln mit all-
gemeinstem nichtkommutativem Operatorenbereich“ reden, doch scheint
mir für die in Betracht kommenden Untersuchungen die Verwendung
der gruppentheoretischen Ausdrucksweise zweckmäßig. In Zt. wurde
ein Zerlegungssatz bewiesen, der das Analogon zum REMAKschen Satz
über die Zerlegung einer gewöhnlichen endlichen (kommutativen oder
nichtkommutativen) Gruppe in direkte unzerlegbare Faktoren darstellt,
im folgenden handelt es sich vor allem um das Studium der Kom-
positionsreihen. Zunächst wird der Begriff der JoRDANschen
Kompositionsreihe auf unsern Fall übertragen, es wird der zu-
gehörige Isomorphiesatz bewiesen, und es wird gezeigt, daß die ver-
allgemeinerten endlichen AßELschen Gruppen, mit denen wir uns
hauptsächlich beschäftigen, durch die Existenz einer endlichgliedrigen
Jordansehen Kompositionsreihe charakterisiert sind.
Zu weiteren Ergebnissen gelangt man durch gruppentheoretische
Fassung derjenigen Begriffe, die den Untersuchungen von Herrn Loewy
in den Abhandlungen: Über Matrizen- und Differentialkomplexe
I—III2) zugrunde liegen. Ich habe daher die in diesem Zusammen-
hang auftretenden Kompositionsreihen als die „vordere“ und „hin-
tere LoEWYsche Kompositionsreihe“ bezeichnet. Die Loewy-
schen Kompositionsreihen lassen sich benützen zum Beweis zweier
dualistisch gegenüberstehender Zerlegungssätze, deren* einer eine Er-
gänzung eines von E. Noether herrührenden Modul- oder Gruppen-
satzes für den Sonderfall der verallgemeinerten endlichen AßELschen
Gruppen darstellt.
Soweit die abstrakten Untersuchungen; der zweite Teil bringt An-
wendungen, und zwar auf die Idealtheorie, auf die hyper-
*) Math. Zeitschrift Bei. 23 (1925) p. 161—186; in Zukunft mit Zt. zitiert.
2) Math. Annal. 78 (1917) p. 1—51 u. p. 343—368; in Zukunft mit L. I—III
zitiert.
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