Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

4 Wolfgang Krull :
komplexen Systeme und auf die Lehre von den Elementar-
teilern.
Die Bedeutung der verallgemeinerten endlichen ÄBELschen Gruppen
für die Idealtheorie wird am Beispiele desjenigen Ringes klargemacht,
den ich in den Arbeiten „Algebraische Theorie der Ringe I und II1)
ausführlich behandelt habe. Die dort eingeführten HiLBERischen In-
varianten werden mit Hilfe der LoEWYschen Kompositionsreihen gruppen-
theoretisch gedeutet, und es wird ihnen eine zweite Invariantenserie
gegenübergestellt, auf die mich schon früher von anderem Gesichts-
punkt aus E. Noether, aufmerksam gemacht hatte.
Nur kurz gestreift wird der Zusammenhang mit den hyperkomplexen
Systemen. Jedes derartige System läßt sich als Multiplikatorenbereich
einer „hyperkomplexen Gruppe von endlichem Rang“ auffassen, und
die Ermittlung sämtlicher Darstellungen eines gegebenen Systems durch
Matrizen ist äquivalent mit der Bestimmung sämtlicher hyperkomplexen
Gruppen von endlichem Rang, deren Multiplikatorenbereich durch das
System dargestellt wird. Der Zusammenhang zwischen hyperkomplexen
Gruppen und Matrizen gestattet, aus den Sätzen über die LoEWYschen
Kompositionsreihen die Ergebnisse von L I, II, III ohne begriffliche
Schwierigkeiten, rein durch Übersetzung in eine andere Ausdrucks-
weise abzuleiten.2) Die einfachsten hyperkomplexen Gruppen von end-
lichem Rang sind die „Elementarteilergruppen“, die sich eindeutig um-
kehrbar den Klassen ähnlicher Einzelmatrizen zuordnen lassen. Die
Elementarteilergruppen3) sind aufs engste mit den gewöhnlichen end-
lichen ÄBELschen Gruppen verwandt und gestatten eine ganz analoge
Behandlung; während eine gewöhnliche endliche ABELsche Gruppe
durch Angabe ihrer numerischen Invarianten vollkommen charakterisiert
ist, spielen bei den Elementarteilergruppen gewisse Polynominvarianten
genau dieselbe Rolle, und diese sind nichts anderes als die Elementar-
teiler der zugehörigen Matrizenklasse. Damit ist die Begründung der
Elementarteilertheorie bereits erledigt; darüber hinaus kann man durch
Hereinziehung der Elementarteilergruppen gewisse hierher gehörige Sätze,
1) Math. Annah 89 (1922) p. 80—122 bzw. Math. Annah 91 (1923) p. 1—46.
In Zukunft mit A I und A II zitiert.
2) Vgl. indes den Schluß von § 6.
3) Der Begriff der Elementarteilergruppe findet sich eigentlich (worauf ich
erst nach Fertigstellung des Manuskripts aufmerksam wurde) in geometrischer
Einkleidung schon in der Begründung der Elementarteilertheorie, die Herr Weyl
in seinem Buche: Mathematische Analyse des Raumproblems (Berlin bei Springer
1923) auf p. 89—100 gibt. Doch wird dort nirgends auf den Zusammenhang mit
den endlichen ÄBELschen Gruppen hingewiesen, und auch im übrigen weicht der
Beweisgang wesentlich von dem hier eingehaltenen ab.