Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. 5
die sonst ziemlich umständliche Rechnungen erfordern, rein begrifflich
beweisen. Einige diesbezügliche Beispiele sind in den letzten beiden
Paragraphen gegeben.
Grundbegriffe.
Den Untersuchungen liegt ein „Operatorenbereich“ T und ein
„Elementebereich“ 0 zugrunde. Operatoren werden mit großen griechi-
schen, Elemente mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet. Es
gelten folgende Rechenregeln:
1. Die Elemente von 0 können durch eine assoziative und
kommutative, als „Addition“ bezeichnete Operation ver-
knüpft werden. Der Bereich 0 bildet hinsichtlich der
Addition eine Gruppe, enthält also insbesondere das „Null-
element“ 0 und zu jedem a das „inverse Element“ —a.
2. Aus einem bei. Element a kann durch „Multiplikation“
mit einem bei. Operator 0 ein eindeutig bestimmtes Element
ß abgeleitet werden, für das wir die Schreibweise ß = O • a
benutzen. Die Multiplikation genügt dem distributiven
Gesetz, d. h. es ist stets 0- (« + /?) = 0- a + 0-ß.
Ein Teilsystem A von 0 heißt verallgemeinerte Abel-
sche Gruppe (in Zukunft kurz v. A.G.)1), wenn es 1. hin-
sichtlich der Addition eine kommutative Gruppe bildet und
2. gleichzeitig mit a stets das Element 0- a für bei. 0 enthält.
Kommen die Elemente der Gruppe B sämtlich in der Gruppe A
vor, so nennt man A Obergruppe von B, B Untergruppe von
A, und zwar spricht man von einer echten Ober- bzw. Untergruppe,
wenn A und B verschieden sind. Nach unsrer Definition stellt so-
wohl 0 als auch das aus dem einzigen Nullelement bestehende System
N eine v. A. G. dar, und zwar ist 0 gemeinsame Ob er gruppe, N
gemeinsame Untergruppe sämtlicher v. A. G.
Eine Gruppe, die außer N keine echte Untergruppe besitzt, heißt
irreduzibel.
Als Durchschnitt bzw. Summe der Gruppen A1, A2,... An,
bezeichnet man die größte gemeinschaftliche Untergruppe bzw. die
kleinste gemeinschaftliche Obergruppe von A1} A2, ... An, d. h. die Ge-
samtheit aller gleichzeitig in sämtlichen A^ auftretender Elemente
• n
bzw. die Gesamtheit aller der Elemente, die sich in der Form N a;
i = 1
b In der vorliegenden Arbeit gebrauchen wir statt v. A. G. auch einfach
das Wort „Gruppe“. Gruppen im üblichen Sinne (kommutative und nicht*
kommutative) heißen „gewöhnliche“ Gruppen (g. G.).