Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Wolfgang Krull:

darstellen lassen, wenn ai ein bei. Element aus Ai bedeutet. Für
Durchschnitt bzw. Summe verwenden wir die Schreibweise [Av A2,...An]
bzw. (Av A2,. ..An). Ist [Av A2] = N, so werden und A2 elemente-
fremd genannt. Die Summe der Gruppen Ai heißt direkte Summe
und man schreibt ((Hx, A2, .... An))> wenn jede der Gruppen A{ zur
Summe der n—1 übrigen elementefremd ist.
Ist A = ((Av A2>... An))> so gilt für jedes Element a aus A eine
n
eindeutig bestimmte Darstellung a = 2 ai} wobei ai ein Element aus
i = 1
Ai bedeutet. wird als ^-Komponente von a bezeichnet; die
Gesamtheit der -Komponenten einer Untergruppe JB von A bildet
eine Untergruppe von A„ die ArKomponente von B.
Ist A eine bei. Gruppe, so kann man mit Hilfe von A für die
Operatoren Gleichheit, Addition und Multiplikation folgendermaßen
definieren:
Zwei Operatoren 0X und 02 sollen gleich heißen, wenn für bei. ct
aus A stets 01-a=02-a ist. Unter der Differenz bzw. dem Produkt
der Operatoren 0t und 02 versteht man den (eventuell neu einzuführen-
den) Operator, der der Gleichung (0X—02) • a + 02-a = 0X • a bzw.
(0t • 02) • a = 0] • (02 • a) für bei. a aus A genügt. Bei diesen Defini-
tionen wird die Addition assoziativ und kommutativ, die Multiplikation
assoziativ1) und distributiv, wenn auch i. a. nicht kommutativ. Ferner
bildet der in der angegebenen Weise ergänzte Operatorenbereich 2312)
hinsichtlich der Addition eine kommutative Gruppe.
231 stellt in der üblichen Au.sdrucksweise einen (i. a.
nichtkommutativen) Ring dar, der ersichtlich durch A
und den ursprünglichen Operatorenbereich 23 eindeutig
bestimmt ist.
Zwei nichtkommutative Ringe 21 und 23 bzw. zwei v. A. G. A und
JB heißen holoedrisch isomorph, oder kurz isomorph, wenn
zwischen ihren Elementen eine eineindeutige hinsichtlich der Addition
und Multiplikation bzw. hinsichtlich der Addition und Multiplikation
mit Operatoren im üblichen Sinne isomorphe Zuordnung möglich ist.
Ist die Zuordnung derart, daß zwar jedem Element aus 21 bzw. A ein-
deutig ein Element aus 23 bzw. B, aber jedem Element aus 25 bzw.
*) Die Gültigkeit des assoziativen Gesetze's der Multiplikation beruht auf
dem Umstand, daß man jeden Operator als Abbildung von 0 auf einen Teil-
bereich auffassen kann, und daß die Multiplikation der Operatoren der Kompo-
sition dieser Abbildungen (im üblichen Sinne) entspricht.
2) Unter 33* wird in Zukunft stets ein in der angegebenen Weise zum
Ring ergänzter Operatorenbereicb verstanden.