Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. 7
B eine Klasse von Elementen aus 31 bzw. A entspricht, so heißt 23
zu 21 bzw. B zu A meroedrisch isomorph.
Zu isomorphen Gruppen A und B gehören isomorphe Operatoren-
bereiche 23*4 und 23*b; einer Untergruppe B von A ist ein zu 23*4
meroedrisch isomorpher Operatorenbereich 23*sg zugeordnet. Stellt B
eine Untergruppe von A — ^Ar, A2,... A^ dar, und bedeutet Bi die
oben eingeführte A -Komponente von B, so ist B- zu B meroedrisch
isomorph, wie man unmittelbar erkennt, wenn man jedem Element aus
B seine At-Komponente zuordnet.
Es sei B eine Untergruppe von A; dann heißen zwei Elemente
a und ß aus A „modulo B kongruent“ und man schreibt a = ß(B),
wenn a—ß in B enthalten ist.1) Der Kongruenzbegriff ist symmetrisch,
reflexiv, transitiv, und es ist ctx-j-ct2 =/^ fl-/?2 (B) bzw. 0-a~ <Bß(B\
wenn = ß1(B'), a2 = ß2(B) bzw. a — ß (B). Auf Grund dieser Tat-
sachen kann man die Klassen modulo B kongruenter Elemente als neue
Elemente einführen, und für sie Addition und Multiplikation in der bei
jeder Restklassenbildung üblichen Weise definieren. Man erhält so in der
Gesamtheit aller Restklassen einen Bereich, der die oben angegebenen
charakteristischen Eigenschaften einer v. A. G. besitzt, und als „Rest-
klassengruppe von A nach B“ oder symbolisch mit A\B be-
zeichnet wird. Häufig sprechen wir ohne Hervorhebung von B von
einer „Restklassengruppe“ schlechtweg, und zwar von einer „echten Rest-
klassengruppe“, wenn betont werden soll, daß B von N verschieden.2)
So A^By und A2|B2 Restklassengruppen, zwischen deren Klassen
eine solche eineindeutige Zuordnung möglich ist,'daß die Elemente
aus 0, die in einer Klasse von A2|B2 auftreten, sämtlich auch in der
entsprechenden Klasse von A1\B1 vorkommen, so sind A1|B1 und
A2|B2 isomorph, und es ist zweckmäßig, geradezu A1|B1 = A2|B2 zu
setzen. Allgemeiner sollen A2|B2 und A3jB3 als gleich angesehen
werden, wenn eine Restklassengruppe A^Bx existiert, für die nach der
eben getroffenen Vereinbarung A1|B1 = A2|B2; Af1|B1 = H3|Bo wird.
Es ergibt sich dann insbesondere die wichtige Beziehung (A, B)\B
— A[[A,B], mit deren Hilfe wir für bei. Gruppen A und B die Rest-
klassengruppe AB durch A\B = (A, B)\B = A|[A, B] definieren.
Ist die Gruppe B zu A meroedrisch isomorph, so entspricht dem
Nullelement von B eine Untergruppe C von A, und es besteht holoe-
drischer Isomorphismus zwischen B und A\C.

') « = 0 (2?) bedeutet also insbesondere, daß a in B enthalten ist.
2) Ist Ai Obergruppe von Az, Ao Obergruppe vou ALi, so nennen wir Aq\Ai
Restklassengruppe von A0A2, denn es ist ja: zt0|Ai = (Ao|A2)|(Ai|A2).