Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Wolfgang Krull:

Bedeutet A1 eine Untergruppe von Ao, A2 eine solche von A0|A1;
so bildet die Gesamtheit aller Elemente, die in den Klassen von A2
vorkommen, eine Untergruppe von Ao und Obergruppe von Av die
mit A1 A2 bezeichnet wird. Ist ferner A3 eine Untergruppe von
so versteht man unter der Gruppe A1r'A2"^l3 die Gesamt-
heit aller in den Klassen von A3 auftretenden Elemente usw.1)
Besteht für Ao selbst eine Darstellung Ao = A^A^. . AAn, so
spricht man von einer „Kompositionsreihe“ (Kr.) von Ao mit den
„Gliedern“ Av A2, ...An, und zwar von einer „JoRDANschen Kr.“,
falls Av A2, . . . An sämtlich irreduzibel.
§2.
V. e. A. G. und Jordansche Kr.
Eine v. A. G. heißt v. e. A. G., wenn man aus ihr keine ins
Unendliche laufende echte Unter- oder Obergruppenkette
herausgreifen kann, d. h. wenn sie keine unendliche Gruppenfolge
Av A2, ... enthält, bei der allgemein Ai_^1 eine echte Unter- bzw.
Obergruppe von At darstellt.
Jede Unter- sowie jede Restklassengruppe einer v. e. A. G. ist
gleichfalls eine v. e. A. G.2) Eine irreduzible Gruppe ist stets eine
v. e. A. G., umgekehrt enthält jede v. e. A. G. mindestens eine irredu-
zible Untergruppe.
Satz 1. A ist dann und nur dann v. e. A. G., wenn A eine
JoRDANsche Kr. besitzt.
a) Es sei A eine v. e. A. G., und B eine Untergruppe von A mit
JoRDANscher Kr.3) Ist dann A.B J N, so enthält AfB eine irreduzible
Gruppe P, und stellt BP eine in A enthaltene echte Obergruppe von
B mit gleichfalls JoRDANscher Kr. dar. Wegen der Obergruppen-
kettenvoraussetzung folgt daraus, daß A selbst eine JoRDANsche Kr.
besitzt.
b) Eine Gruppe mit eingliedriger JoRDANscher Kr. ist als irre-
duzible Gruppe eine v. e. A. G. Setzt man ferner voraus, daß jede
Gruppe mit w-l-gliedriger JoRDANscher Kr. eine v. e. A. G. darstellt,
so gilt das gleiche für alle Gruppen mit n-gliedriger JoRDANscher Kr.
Es sei nämlich J. = P^Pg".. JP^, mit irreduziblen Pj Av A2, ...
sei eine unendliche Unter- oder Obergruppenkette aus A. Wegen der
Gültigkeit von Satz 1 iHv A\P1 = P2 P3 .. SPn einerseits und der Irre-
*) In Zt. §2 wurden die Gruppen Alo^i usw. etwas umständlicher eingeführt.
2) Vgl. Zt. § 2 p. 170
3) Mindestens eine solche Untergruppe ist in A enthalten, z. B. eine irre-
duzible Untergruppe.