Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. H
((jB2, Ci)); A|A2 = (£B1} C2\) gelten, wobei Bv B.2, Cv C2 v. red. und Cx und
C2 zu C isomorph sind. Daraus folgt schließlich, daß A^AV A2] zwei
Untergruppen B-^C^ und B2~C2 enthält, deren Durchschnitt eine zu C
isomorphe Gruppe C* liefert, die der Gleichung AfiA^ A2] = ((Blf B2, C*))
genügt.
Satz 5. Eine v. e. A. G. besitzt zwei ausgezeichnete Kr.
BxB2n.. SBl bzw. BmBm--L- • die als „vordere“ und „hintere
Loewysche Kr.“ bezeichnet werden und folgendermaßen
charakterisiert sind: Sämtliche Gruppen B^ und sind
v. red. Bedeutet ferner B'-^B'^.. "B'v (Bm‘" Bm‘ ... B eine
Kr. von A mit lauter v. red. Gliedern, und ist für k = 1, 2.. .i
stets Bi= B'i{Bi = B'i'), so gilt die Gleichung Bx~B2~.. SBi -
B'^B,’2...''B,'i (Bi B^-J.. SB1 = Bfi''B'i_x..TB,1'), und es stellt
B'ij^ eine Untergruppe von BiJrl (B'ij^ eine Restklassen-
gruppe von B^-j) dar.
Die Gruppe BXB2". . .Bi bzw. Bi"Bi_1". . SB2 bzw.
lRm'Bm..x.. .' Bi^ wird als ite LoEWYsche Untergruppe bzw.
als IP LoEwvsche Restklassengruppe bzw. als iP Haupt-
untergruppe bezeichnet.
Bedeutet Bx die Summe aller irreduziblen Untergruppen von A,
so läßt sich Bx wegen der Endlichkeitsvoraussetzungen als Summe
endlich vieler irreduzibler Summanden darstellen, und ist daher nach
Satz a) v. red. Ebenso erhält man eine v. red. G., wenn man die
Summe B2 aller irreduziblen Untergruppen von bildet usw. Die
so entstehende eindeutig bestimmte Kr. B^B>'\.. stellt, wie unmittelbar
aus der Konstruktion zu ersehen, die vordere LoEWYsche Kr. dar.
Nach Satz d) und der Untergruppen Voraussetzung1) ist A\TX v. red.,
falls Tx den Durchschnitt aller der Untergruppen V bedeutet, für die
A|V v. red. ausfällt. Man setze A\TX — BX und bezeichne mit T2 den
Durchschnitt aller Untergruppen V von Tx, für die Tx V v. red. wird,
mit B2 die Gruppe T^T2. Man gelangt so zu der hinteren LoEWYschen
Kr.Rm"• .7^ und zu den Hauptuntergruppen Ti = Bm"Bm_x.. AB^
(i = 1, 2 ...m — 1).
Hilfssatz. BxJR2..ABl_i ist Obergruppe von
Bim BJm_x..ABm_i_y1 ist Untergruppe von BP B2 .. A B^
a) BxB,2.. ABt_x ist Obergruppe von . ."_R2, weil
H|Ri"R2". . AB,t_x v. red. Daraus folgt, daß BmnBm_p.. AB^B,XB2..
v. red. und mithin BXB2.. SBt_2 Obergruppe von • ."R3 usw.
*) Die Untergruppenvoraussetzung ist insofern wesentlich, als sie zeigt,
daß man Ti mit Hilfe von endlich viel Durchschnittsbildungen gewinnen kann.
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