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https://doi.org/10.11588/diglit.43397#0013
Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. 13
so gelten die Gleichungen LQi = ((L^, L2i,... Lni)) bzw. Loi -
((Äi, L2i,... Zni)) b z w. Toi = T2i,... T»«)).1)
a) Tki und Lki. T01 = ((Tn ,T21,... Tnl)~) folgt aus der Definition
der Hauptuntergruppe. Weiter ergibt sich T02 = ([T12, T22,... Tn^)),
wenn man Tk2 als Hauptuntergruppe von Tkl auffaßt. Induktion!
Aus der Gültigkeit des Satzes für die Tki folgt mit Hilfe der Gleichung
((4>= Oil^,A|T2<,...seine
Richtigkeit für die Lki.
b) Lki. — Lk^ — Rkl Rk2 ... Rjd- Lol= R01= ({Rllf R21,... R^
folgt aus der Tatsache, daß ([R11,R21,...Rnl')') offenbar v. red. ist und
andrerseits jede irreduzible Untergruppe von Ao enthält. Bedeutet nämlich
P eine solche Untergruppe, ihre Komponente (vgl. § 1), so ist P{
zu einer Restklassengruppe von P isomorph, und folglich irreduzibel oder
gleich N, also in ((j?u, P21,... JRml)) enthalten. Indem man weiter die
eben benutzte Schlußweise auf A0|R01 = A2|_R21,... Aw| jRnl))
anwendet, gewinnt man die Beziehungen P02 = ((P12, P22, ... i?n2));
Rq2 = (^-^12’ ‘ Usf.
Zum Schlüsse des Paragraphen sollen zwei dualistisch gegenüber-
stehende Sätze abgeleitet werden, die einen neuen Einblick io die Be-
deutung der ersten LoEwvschen Restklassengruppe bzw. Untergruppe
geben.
Hilfssatz. Ist T die erste Hauptuntergruppe von A,
so folgt aus (B, T} = A stets B = A.
Ist (T, B)—A, so läßt sich eine Untergruppe C von T finden,
derart, daß (C, B) = A. wird, während für jede echte Untergruppe D
von C die Summe (P^B} von A verschieden ausfällt. Bedeutet Tc
die erste Hauptuntergruppe von C, Tb diejenige von B, so haben wir
(Tc, Tb) — T, mithin (Tc, B) = A. Es muß daher C mit Tb identisch
sein, und daraus folgt C=N; B — A.
Defi nition: Die Gleichung A = (A1, A2,.. .A„) heißt kürzeste
Summendarstellung von A durch relativ kleinste Unter-
gruppen, wenn keine der Komponenten überflüssig ist oder sich
als Summe echter Untergruppen darstellen läßt.
Satz 9a. Ist A = (AV Ä2,... An) eine kürzeste Summen-
darstellung von A durch relativ kleinste Untergruppen,
und bedeutet B^ die erste Loewysche Restklassengruppe
9 Ist die LoEwvsche Invariante von Ak kleiner als i, so setze man: Lh -
L]ci = Ak; Tki = N!
so gelten die Gleichungen LQi = ((L^, L2i,... Lni)) bzw. Loi -
((Äi, L2i,... Zni)) b z w. Toi = T2i,... T»«)).1)
a) Tki und Lki. T01 = ((Tn ,T21,... Tnl)~) folgt aus der Definition
der Hauptuntergruppe. Weiter ergibt sich T02 = ([T12, T22,... Tn^)),
wenn man Tk2 als Hauptuntergruppe von Tkl auffaßt. Induktion!
Aus der Gültigkeit des Satzes für die Tki folgt mit Hilfe der Gleichung
((4>= Oil^,A|T2<,...seine
Richtigkeit für die Lki.
b) Lki. — Lk^ — Rkl Rk2 ... Rjd- Lol= R01= ({Rllf R21,... R^
folgt aus der Tatsache, daß ([R11,R21,...Rnl')') offenbar v. red. ist und
andrerseits jede irreduzible Untergruppe von Ao enthält. Bedeutet nämlich
P eine solche Untergruppe, ihre Komponente (vgl. § 1), so ist P{
zu einer Restklassengruppe von P isomorph, und folglich irreduzibel oder
gleich N, also in ((j?u, P21,... JRml)) enthalten. Indem man weiter die
eben benutzte Schlußweise auf A0|R01 = A2|_R21,... Aw| jRnl))
anwendet, gewinnt man die Beziehungen P02 = ((P12, P22, ... i?n2));
Rq2 = (^-^12’ ‘ Usf.
Zum Schlüsse des Paragraphen sollen zwei dualistisch gegenüber-
stehende Sätze abgeleitet werden, die einen neuen Einblick io die Be-
deutung der ersten LoEwvschen Restklassengruppe bzw. Untergruppe
geben.
Hilfssatz. Ist T die erste Hauptuntergruppe von A,
so folgt aus (B, T} = A stets B = A.
Ist (T, B)—A, so läßt sich eine Untergruppe C von T finden,
derart, daß (C, B) = A. wird, während für jede echte Untergruppe D
von C die Summe (P^B} von A verschieden ausfällt. Bedeutet Tc
die erste Hauptuntergruppe von C, Tb diejenige von B, so haben wir
(Tc, Tb) — T, mithin (Tc, B) = A. Es muß daher C mit Tb identisch
sein, und daraus folgt C=N; B — A.
Defi nition: Die Gleichung A = (A1, A2,.. .A„) heißt kürzeste
Summendarstellung von A durch relativ kleinste Unter-
gruppen, wenn keine der Komponenten überflüssig ist oder sich
als Summe echter Untergruppen darstellen läßt.
Satz 9a. Ist A = (AV Ä2,... An) eine kürzeste Summen-
darstellung von A durch relativ kleinste Untergruppen,
und bedeutet B^ die erste Loewysche Restklassengruppe
9 Ist die LoEwvsche Invariante von Ak kleiner als i, so setze man: Lh -
L]ci = Ak; Tki = N!