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https://doi.org/10.11588/diglit.43397#0015
Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. 15
Satz 9b. Ist N = [A1} A2, . ..An\ eine kürzeste Durch-
schnittsdarstellung von N durch relativ größte Unter-
gruppen von A, und bedeutet R: die erste LoEWYsche Unter-
gruppe von Aif R diejenige von A, so ist N = [Rv R2,... Rn]
eine kürzeste Darstellung von N durch relativ größte
Untergruppen von R.
Der Existenzbeweis für eine Darstellung der gewünschten Art
wird genau so geführt, wie der entsprechende Beweis bei Satz 9a,
nur daß diesmal die Obergruppenkettenvoraussetzung zu benützen ist.
Gehen wir umgekehrt von der Darstellung N = [Ap A2,... An] aus,
so ergibt sich zunächst, daß in der Gleichung N= [R1} R2,.. ,Rn]
keine Komponente weggelassen werden kann, weil andernfalls auch
N — [A1}A2,.. .A^] keine kürzeste Darstellung von N wäre. Gäbe
es ferner zwei in R enthaltene, der Gleichung = [I?ü, Ri2] genügende
echte Obergruppen Rri und R2i von R, so hätten wir in A^ -
[(Ai, Rfr'), (A^ Ri^] eine Darstellung von Ai durch in A enthaltene
echte Obergruppen; denn aus [(Ai5 R^^Af, Bi2)] f Ai folgte in unserm
Fall der Reihe nach: [(A^ iti2] + -^12] + Die Gleichung
JV = [RVR2,. . ,Rn] ist daher eine kürzeste Darstellung von N durch
relativ größte Untergruppen von R.
In einer kürzesten Darstellung A = (At, A2, .. .An) bzw.
N= [AVA 2,...An] durch relativ kleinste bzw. relativ größte
Untergruppen von A kann keine Komponente durch eine
echte Untergruppe bzw. Obergruppe aus A ersetzt werden.
Ist nämlich etwa A = (Bv A2,... An) bzw. N = [Bv A2,... An], wobei
B± eine in A enthaltene echte Unter- bzw. Obergruppe von Ax bedeutet,
so hat man A1 = (B1,[A1,(A2,...AW)]) bzw. Ay = [Bp (Av [A2,... Aw])],
und es sind dabei die Komponenten der rechten Seiten von Ar ver-
schieden.1)
den vorzunehmenden Durchschnittsbildungen, die JoRDANschen Invarianten zu
bestimmen; ferner ist immer wieder zu berücksichtigen, daß es sich bei der
Gleichung N—[Qi, Q2, .. .Qn] um eine kürzeste Darstellung handelt.
x) Für die Durchschnittsdarstellung von N findet sich der angegebene Be-
weis bei E. Noether; Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annal. 83 (1920) § 3
p. 34 f. Dort ist auch für den allgemeineren Fall der alleinigen Gültigkeit der
Obergruppenkettenvoraussetzung die Anzahlgleichheit der Komponenten bei
jeder Darstellung N = [Ah, Ä2,.. ,An] im Sinne von Satz 9 b bewiesen, also eine
Tatsache, die sich bei unsern engeren Voraussetzungen aus den weitergehenden
Resultaten von Satz 9 b mit ergibt.
Satz 9b. Ist N = [A1} A2, . ..An\ eine kürzeste Durch-
schnittsdarstellung von N durch relativ größte Unter-
gruppen von A, und bedeutet R: die erste LoEWYsche Unter-
gruppe von Aif R diejenige von A, so ist N = [Rv R2,... Rn]
eine kürzeste Darstellung von N durch relativ größte
Untergruppen von R.
Der Existenzbeweis für eine Darstellung der gewünschten Art
wird genau so geführt, wie der entsprechende Beweis bei Satz 9a,
nur daß diesmal die Obergruppenkettenvoraussetzung zu benützen ist.
Gehen wir umgekehrt von der Darstellung N = [Ap A2,... An] aus,
so ergibt sich zunächst, daß in der Gleichung N= [R1} R2,.. ,Rn]
keine Komponente weggelassen werden kann, weil andernfalls auch
N — [A1}A2,.. .A^] keine kürzeste Darstellung von N wäre. Gäbe
es ferner zwei in R enthaltene, der Gleichung = [I?ü, Ri2] genügende
echte Obergruppen Rri und R2i von R, so hätten wir in A^ -
[(Ai, Rfr'), (A^ Ri^] eine Darstellung von Ai durch in A enthaltene
echte Obergruppen; denn aus [(Ai5 R^^Af, Bi2)] f Ai folgte in unserm
Fall der Reihe nach: [(A^ iti2] + -^12] + Die Gleichung
JV = [RVR2,. . ,Rn] ist daher eine kürzeste Darstellung von N durch
relativ größte Untergruppen von R.
In einer kürzesten Darstellung A = (At, A2, .. .An) bzw.
N= [AVA 2,...An] durch relativ kleinste bzw. relativ größte
Untergruppen von A kann keine Komponente durch eine
echte Untergruppe bzw. Obergruppe aus A ersetzt werden.
Ist nämlich etwa A = (Bv A2,... An) bzw. N = [Bv A2,... An], wobei
B± eine in A enthaltene echte Unter- bzw. Obergruppe von Ax bedeutet,
so hat man A1 = (B1,[A1,(A2,...AW)]) bzw. Ay = [Bp (Av [A2,... Aw])],
und es sind dabei die Komponenten der rechten Seiten von Ar ver-
schieden.1)
den vorzunehmenden Durchschnittsbildungen, die JoRDANschen Invarianten zu
bestimmen; ferner ist immer wieder zu berücksichtigen, daß es sich bei der
Gleichung N—[Qi, Q2, .. .Qn] um eine kürzeste Darstellung handelt.
x) Für die Durchschnittsdarstellung von N findet sich der angegebene Be-
weis bei E. Noether; Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annal. 83 (1920) § 3
p. 34 f. Dort ist auch für den allgemeineren Fall der alleinigen Gültigkeit der
Obergruppenkettenvoraussetzung die Anzahlgleichheit der Komponenten bei
jeder Darstellung N = [Ah, Ä2,.. ,An] im Sinne von Satz 9 b bewiesen, also eine
Tatsache, die sich bei unsern engeren Voraussetzungen aus den weitergehenden
Resultaten von Satz 9 b mit ergibt.