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https://doi.org/10.11588/diglit.43397#0016
16
Wolfgang Krull:
§4.
Beispiel aus der Idealtheorie.
Die in § 2 und § 3 abgeleiteten Sätze sollen an einem Beispiel
veranschaulicht werden, zu dessen Verständnis allerdings die Kenntnis
einiger Grundbegriffe der allgemeinen Idealtheorie nötig ist.1)
Als Operatorenbereich wählen wir einen kommuta-
tiven Bing der ein Einheitselement e 2) der Multi-
plikation enthält, und folgenden Axiomen genügt:
1. Jedes Ideal aus 91 besitzt eine endliche Basis.
2. In 91 gibt es ein ausgezeichnetes Ideal p mit fol-
genden Eigenschaften:
a) Jedes nicht in p enthaltene Element £ ist Einheit,
d. h. es gibt in 9t zu £ ein „reziprokes Element“ £_1, für
das £ • £_1 = £•
b) Es gibt eine natürliche Zahl r, so daß pr = (0), es
ist also jedes durch p teilbare Element Nullteiler, und
ein Produkt von r Nullteilern verschwindet stets.3)
Als Elementebereich 0 stellen wir neben den Opera-
torenbereich 2I* = 9i das durch Axiom 2 charakterisierte
Ideal p. Dann wird in unserm Beispiel:
Gruppe — durch p teilbares Ideal; Obergruppe = Teiler, Unter-
gruppe = Vielfaches, 0 = p, N= (0); Summe = größter gemeinschaft-
licher Teiler, Durchschnitt — kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches;
Restklassengruppe a 16 = Restklassensystem von a nach b.
Das Restklassensystem des Einheitsideals (e) nach a bildet einen
Ring 9t mit den gleichen charakteristischen Eigenschaften wie 9t. Man
kann die Untergruppen von p|a als Ideale in 9t auffassen. Wir setzen
(0): (e) = (0) = q(1); (0): p = q<2>, (0): p2 = q<3\.. .(0): P'"1 = p = q
Dann gilt:
Hilfssatz. Notwendig und hinreichend für die voll-
ständige Reduzi bilität der durch q dargestellten Gruppe
ist die Gültigkeit der Kongruenz a = 0(q(2)). Zwei v. red. G.
Vgl. die weiter unten aufgezählten Bezeichnungen. Ferner brauchen
wir den Begriff des Idealproduktes sowie des Idealquotienten. Zu dem benutzten
Ringtypus vgl. Krull, A. I. § 1 u. § 2.
2) Ringelemente werden mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet,
da sie — wenigstens z. T. — auch als Gruppenelemente benutzt werden.
3) Das kleinste r für das pr — (0) heißt der „charakteristische Exponent“
von 9t.
Wolfgang Krull:
§4.
Beispiel aus der Idealtheorie.
Die in § 2 und § 3 abgeleiteten Sätze sollen an einem Beispiel
veranschaulicht werden, zu dessen Verständnis allerdings die Kenntnis
einiger Grundbegriffe der allgemeinen Idealtheorie nötig ist.1)
Als Operatorenbereich wählen wir einen kommuta-
tiven Bing der ein Einheitselement e 2) der Multi-
plikation enthält, und folgenden Axiomen genügt:
1. Jedes Ideal aus 91 besitzt eine endliche Basis.
2. In 91 gibt es ein ausgezeichnetes Ideal p mit fol-
genden Eigenschaften:
a) Jedes nicht in p enthaltene Element £ ist Einheit,
d. h. es gibt in 9t zu £ ein „reziprokes Element“ £_1, für
das £ • £_1 = £•
b) Es gibt eine natürliche Zahl r, so daß pr = (0), es
ist also jedes durch p teilbare Element Nullteiler, und
ein Produkt von r Nullteilern verschwindet stets.3)
Als Elementebereich 0 stellen wir neben den Opera-
torenbereich 2I* = 9i das durch Axiom 2 charakterisierte
Ideal p. Dann wird in unserm Beispiel:
Gruppe — durch p teilbares Ideal; Obergruppe = Teiler, Unter-
gruppe = Vielfaches, 0 = p, N= (0); Summe = größter gemeinschaft-
licher Teiler, Durchschnitt — kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches;
Restklassengruppe a 16 = Restklassensystem von a nach b.
Das Restklassensystem des Einheitsideals (e) nach a bildet einen
Ring 9t mit den gleichen charakteristischen Eigenschaften wie 9t. Man
kann die Untergruppen von p|a als Ideale in 9t auffassen. Wir setzen
(0): (e) = (0) = q(1); (0): p = q<2>, (0): p2 = q<3\.. .(0): P'"1 = p = q
Dann gilt:
Hilfssatz. Notwendig und hinreichend für die voll-
ständige Reduzi bilität der durch q dargestellten Gruppe
ist die Gültigkeit der Kongruenz a = 0(q(2)). Zwei v. red. G.
Vgl. die weiter unten aufgezählten Bezeichnungen. Ferner brauchen
wir den Begriff des Idealproduktes sowie des Idealquotienten. Zu dem benutzten
Ringtypus vgl. Krull, A. I. § 1 u. § 2.
2) Ringelemente werden mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet,
da sie — wenigstens z. T. — auch als Gruppenelemente benutzt werden.
3) Das kleinste r für das pr — (0) heißt der „charakteristische Exponent“
von 9t.