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https://doi.org/10.11588/diglit.43397#0019
Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. 19
heißt skalare Matrix; es ist zweckmäßig, eine skalare Matrix un-
mittelbar dem in der Hauptdiagonale auftretenden Körperelement
gleichzusetzen.1)
Zwei beliebige Matrizenkomplexe Ql und 33 werden ähnlich
genannt, wenn es zwischen ihren Elementen eine derartige eineindeutige
Zuordnung gibt, daß für eine feste Matrix II durch die Transfor-
mation TIAn-1 jede Matrix aus QI in die entsprechende aus 33 über-
geht. Eine Klasse ähnlicher Matrizen komplexe heißt redu-
zibel (zerlegbar), wenn es in ihr einen reduzierten (zer-
legten) Komplex gibt, dessen Matrizen sämtlich die Gestalt
9II \
(besitzen, wobei eine Matrix vom festen
■2 IM
Grade 7^j>0 bedeutet.
Unter einem hyperkomp 1 exen System S vom endlichen
Range n2) mit dem Grundkörper $ versteht man einen
nichtkommutativen Ring, der folgenden Axiomen genügt:
1. S enthält als Teilbereich die Elemente des Körpers^.
Das Einheitselement der Multiplikation aus $ ist auch
Einheitselement in S und es ist a- 0 — & • a für bei. a aus $
und bei. 0 aus (5.
2. Es gibt in <5 genau n hinsichtlich linear unab-
hängige Elemente.
Wie bei Matrizen bezeichnen wir Körperelemente mit kleinen
lateinischen, bei. Systemelemente mit großen griechischen Buchstaben.
Eine Elementeschar 01,02,...0TO aus S heißt Basis des Systems,
wenn sich jedes Element aus <5 linear durch die 0^ mit Koeffizienten
aus $ ausdrücken läßt, n linear unabhängige Elemente bilden stets
eine Basis, und zwar eine Minimalbasis, d. h. eine solche von
möglichst wenig Elementen.
Ein Komplex von Matrizen n01 Grades, der alle skalaren Matrizen
und gleichzeitig mit A und B stets auch die Matrizen A-\-B und A • B
enthält, stellt ersichtlich ein System hyperkomplexer Größen vom Range
n~ dar. Zwei ähnliche hyperkomplexe Matrizensysteme sind holoe-
9 Mißverständnisse sind dabei unmöglich, weil nie Matrizen verschiedenen
Grades gleichzeitig untersucht werden.
2) Von einem hyperkomplexen System schlechtweg soll gesprochen werden,
wenn der Ring wohl der Bedingung 1, aber nicht notwendig der Bedingung 2
genügt. Der Grundkörper $ ist ganz beliebig, er braucht nicht, was sonst bei
hyperkomplexen Systemen häufig vorausgesetzt wird, der Körper aller reellen
oder der aller komplexen Zahlen zu sein.
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heißt skalare Matrix; es ist zweckmäßig, eine skalare Matrix un-
mittelbar dem in der Hauptdiagonale auftretenden Körperelement
gleichzusetzen.1)
Zwei beliebige Matrizenkomplexe Ql und 33 werden ähnlich
genannt, wenn es zwischen ihren Elementen eine derartige eineindeutige
Zuordnung gibt, daß für eine feste Matrix II durch die Transfor-
mation TIAn-1 jede Matrix aus QI in die entsprechende aus 33 über-
geht. Eine Klasse ähnlicher Matrizen komplexe heißt redu-
zibel (zerlegbar), wenn es in ihr einen reduzierten (zer-
legten) Komplex gibt, dessen Matrizen sämtlich die Gestalt
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(besitzen, wobei eine Matrix vom festen
■2 IM
Grade 7^j>0 bedeutet.
Unter einem hyperkomp 1 exen System S vom endlichen
Range n2) mit dem Grundkörper $ versteht man einen
nichtkommutativen Ring, der folgenden Axiomen genügt:
1. S enthält als Teilbereich die Elemente des Körpers^.
Das Einheitselement der Multiplikation aus $ ist auch
Einheitselement in S und es ist a- 0 — & • a für bei. a aus $
und bei. 0 aus (5.
2. Es gibt in <5 genau n hinsichtlich linear unab-
hängige Elemente.
Wie bei Matrizen bezeichnen wir Körperelemente mit kleinen
lateinischen, bei. Systemelemente mit großen griechischen Buchstaben.
Eine Elementeschar 01,02,...0TO aus S heißt Basis des Systems,
wenn sich jedes Element aus <5 linear durch die 0^ mit Koeffizienten
aus $ ausdrücken läßt, n linear unabhängige Elemente bilden stets
eine Basis, und zwar eine Minimalbasis, d. h. eine solche von
möglichst wenig Elementen.
Ein Komplex von Matrizen n01 Grades, der alle skalaren Matrizen
und gleichzeitig mit A und B stets auch die Matrizen A-\-B und A • B
enthält, stellt ersichtlich ein System hyperkomplexer Größen vom Range
n~ dar. Zwei ähnliche hyperkomplexe Matrizensysteme sind holoe-
9 Mißverständnisse sind dabei unmöglich, weil nie Matrizen verschiedenen
Grades gleichzeitig untersucht werden.
2) Von einem hyperkomplexen System schlechtweg soll gesprochen werden,
wenn der Ring wohl der Bedingung 1, aber nicht notwendig der Bedingung 2
genügt. Der Grundkörper $ ist ganz beliebig, er braucht nicht, was sonst bei
hyperkomplexen Systemen häufig vorausgesetzt wird, der Körper aller reellen
oder der aller komplexen Zahlen zu sein.
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