Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. 21
entspricht eindeutig umkehrbar einer Klasse ähnlicher,
zu 25* isomorpher Matrizensysteme vom Grade n mit
Koeffizienten aus
a) Es sei die hyp. G. A gegeben, av a2, ...an bedeute eine Minimal-
basis von A, 0 einen bei. Operator aus 25*. Dann gehört zu 0 eine
eindeutig bestimmte Matrix A, die der Gleichung (0 • a) = A • (et) ge-
nügt, und die Gesamtheit der Matrizen A bildet ein zu 25* holoedrisch
isomorphes Matrizensystem, wie unmittelbar aus der Zuordnung von 0
und A zu ersehen.1)
b) n bei. Elemente ßlf ß2,.. .ßn bilden dann und nur dann eine
Minimalbasis von A, wenn eine Matrizengleichung (ß) = H- (et) gilt,
wobei II eine Matrix mit nichtverschwindender Determinante bedeutet.
In diesem Falle aber ist (0 ■ ß} = II- A- II~1- (/?), man erhält also mit
Hilfe der Minimalbasis ßlf ß2,.. ,ßn das aus S durch Transformation
mit der Matrix II entstehende ähnliche System.
c) Sind A und B zwei hyp. G. vom Range n mit dem gleichen
Operatorenbereich 25* und den Minimalbasen et1, a2,... ctw bzw. ßv ß2,.. .ßn
so erhält man dann und nur dann durch Zuordnung von und ßi
(i = 1,2... n) einen Isomorphismus zwischen A und B, wenn die bei-
den Minimalbasen dasselbe zu 25* isomorphe hyperkomplexe Matrizen-
system <5 liefern.
d) Es sei (£> ein zu 25* isomorphes Matrizensystem vom Grade n,
dem Operator 0 entspreche die Matrix A. Dann erhält man eine
hyp. G. vom Range n, der die Klasse der zu ähnlichen Matrizen-
systeme zugeordnet ist, wenn man a1,a2,...an als linear unabhängige
Elemente einführt, und die Anwendung von 0 durch die Matrizen-
gleichung (0 • a) = A • (a) definiert.
Nach Satz 12 ist das Problem der Darstellung eines
abstrakt gegebenen endlichen hyperkomplexen Systems 23*
durch Matrizen äquivalent mit der Bestimmung sämtlicher
hyp. G. von endlichem Rang, deren Operatorenbereicb zu
25* holoedrisch oder meroedrisch isomorph ist.
Satz 13. Eine hyp. G. A von endlichem Rang ist dann
und nur dann reduzibel (zerlegbar), wenn es die zugeord-
nete Klasse von Matrizen Systemen ist.
’) Dabei erfolgt allerdings (was unwesentlich ist) die Multiplikation der
Matrizen in umgekehrter Richtung wie die der Operatoren, d. h. es sind A ■ B
und H ■ 0 einander zuzuordnen, wenn A und 0, B und H einander entsprechen.
Will man ein Matrizensystem erhalten, in dem die Multiplikation in derselben
Richtung erfolgt wie in 23*, so hat man jede Matrix A durch die Transponierte
A! zu ersetzen.