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https://doi.org/10.11588/diglit.43397#0022
22 Wolfgang Krull:
Der Beweis ergibt sich, wenn man von einer Basis A ausgeht,
die einem reduzierten (zerlegten) System der zugeordneten Klasse ent-
spricht.1)
Mit Hilfe von Satz 13 kann man die Ergebnisse von § 2 und
§ 3 in die Matrizen spräche übersetzen. Man kommt so zu den Er-
gebnissen, die Herr Loewy in seinen Arbeiten L. abgeleitet hat,
wenigstens für den Fall von Matrizen mit „konstanten“ Koeffizienten.
Um den allgemeinsten bei Herrn Loewy behandelten Fall zu erfassen,
muß man, worauf ich gelegentlich zurückkommen werde, anstelle der
hyp. G. allgemeinere Gruppen von endlichem Rang setzen2) (vgl. auch
Zt. § 7). Da die angegebene Übertragung ohne begriffliche Schwierig-
keit rein lexikonmäßig durchgeführt werden kann, gehen wir hier nicht
näher darauf ein.
§7.
E. T. G. (Elementarteilergruppen).
Die einfachsten endlichen hyperkomplexen Systeme erhält man
durch Adjunktion eines einzigen Elementes 0 zum Körper Ein
derartiges System <S> = $!(0) genügt dem kommutativen Gesetz der
Multiplikation und wird durch Zuordnung von x und 0 auf das (nicht
endliche) System aller Polynome einer Variabein x mit Koeffizienten
aus meroedrisch isomorph abgebildet. Dem Nullelement aus ent-
sprechen dabei alle Polynome in x, die durch ein gewisses Polynom
g{x) teilbar sind. Der Grad von g (x) ist gleich dem Range von <5.
Eine Gruppe von endlichem Rang mit zu 5p meroedrisch
isomorphem Operatorenbereich soll E. T. G. heißen. Nach
den Darlegungen von § 5 ergibt sich das Problem, einen Überblick
über sämtliche Typen von E. T. G. zu gewinnen, und es wird sich
zeigen, daß diese Fragestellung u. a. zur bekannten Elementarteiler-
theorie führt.
Der Operatorenbereich, mit dem wir es zu tun haben, ist aufs
engste mit demjenigen verwandt, der bei den gewöhnlichen e. A. G.
auftritt. Dort handelt es sich um das Restklassensystem nach einer
natürlichen Zahl, das zum Bereich aller ganzen Zahlen meroedrisch
isomorph ist; hier liegt das zum Bereich aller Polynome meroedrisch
isomorphe Restklassensystem nach einem Polynom einer Variabein vor.
Ganze Zahlen und Polynome einer Variabein sind aber hinsichtlich
*) Vgl. Zt. § 7 p. 189, wo allerdings nur von Zerlegbarkeit die Rede ist.
2) Bei Herrn Loewy sind die in Betracht kommenden Sätze für bei. Matrizen-
komplexe, nicht nur für hyperkomplexe Systeme formuliert. Daß hierin keine
wesentliche Verallgemeinerung liegt, wurde in § 5 hervorgehoben.
Der Beweis ergibt sich, wenn man von einer Basis A ausgeht,
die einem reduzierten (zerlegten) System der zugeordneten Klasse ent-
spricht.1)
Mit Hilfe von Satz 13 kann man die Ergebnisse von § 2 und
§ 3 in die Matrizen spräche übersetzen. Man kommt so zu den Er-
gebnissen, die Herr Loewy in seinen Arbeiten L. abgeleitet hat,
wenigstens für den Fall von Matrizen mit „konstanten“ Koeffizienten.
Um den allgemeinsten bei Herrn Loewy behandelten Fall zu erfassen,
muß man, worauf ich gelegentlich zurückkommen werde, anstelle der
hyp. G. allgemeinere Gruppen von endlichem Rang setzen2) (vgl. auch
Zt. § 7). Da die angegebene Übertragung ohne begriffliche Schwierig-
keit rein lexikonmäßig durchgeführt werden kann, gehen wir hier nicht
näher darauf ein.
§7.
E. T. G. (Elementarteilergruppen).
Die einfachsten endlichen hyperkomplexen Systeme erhält man
durch Adjunktion eines einzigen Elementes 0 zum Körper Ein
derartiges System <S> = $!(0) genügt dem kommutativen Gesetz der
Multiplikation und wird durch Zuordnung von x und 0 auf das (nicht
endliche) System aller Polynome einer Variabein x mit Koeffizienten
aus meroedrisch isomorph abgebildet. Dem Nullelement aus ent-
sprechen dabei alle Polynome in x, die durch ein gewisses Polynom
g{x) teilbar sind. Der Grad von g (x) ist gleich dem Range von <5.
Eine Gruppe von endlichem Rang mit zu 5p meroedrisch
isomorphem Operatorenbereich soll E. T. G. heißen. Nach
den Darlegungen von § 5 ergibt sich das Problem, einen Überblick
über sämtliche Typen von E. T. G. zu gewinnen, und es wird sich
zeigen, daß diese Fragestellung u. a. zur bekannten Elementarteiler-
theorie führt.
Der Operatorenbereich, mit dem wir es zu tun haben, ist aufs
engste mit demjenigen verwandt, der bei den gewöhnlichen e. A. G.
auftritt. Dort handelt es sich um das Restklassensystem nach einer
natürlichen Zahl, das zum Bereich aller ganzen Zahlen meroedrisch
isomorph ist; hier liegt das zum Bereich aller Polynome meroedrisch
isomorphe Restklassensystem nach einem Polynom einer Variabein vor.
Ganze Zahlen und Polynome einer Variabein sind aber hinsichtlich
*) Vgl. Zt. § 7 p. 189, wo allerdings nur von Zerlegbarkeit die Rede ist.
2) Bei Herrn Loewy sind die in Betracht kommenden Sätze für bei. Matrizen-
komplexe, nicht nur für hyperkomplexe Systeme formuliert. Daß hierin keine
wesentliche Verallgemeinerung liegt, wurde in § 5 hervorgehoben.