Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. 23
der multiplikativen Zerlegung ihrer Elemente gleichwertig. Die Unter-
suchung der E. T. G. verläuft daher beinahe wörtlich genau so wie die
der gewöhnlichen e. A. G., und wir können uns mit einer Skizze der
Beweise begnügen.
Ein Polynom soll normiert heißen, wenn bei ihm der Koeffizient
der höchsten Potenz von x die Einheit ist. Als Ordnung eines be-
liebigen Gruppenelementes ct wird das normierte Polynom niedrigsten
Grades bezeichnet, für das die Gleichung g • a — 0 gilt. Unter der
Ordnung einer Gruppe versteht man das kleinste gemeinschaftliche
Vielfache der Ordnungen der Elemente.1)
Eine E. T. G. heißt „durch a erzeugte zyklische Gruppe“, und man
schreibt Z=(ct), wenn Z aus der Gesamtheit aller Elemente besteht,
die aus a durch Anwendung beliebiger Operatoren hervorgehen.
Ist ß ein Element aus Z=(a), so ist die Ordnung von ß ein
Teiler der Ordnung von ct. Stimmen die Ordnungen von a und ß
überein, so ist auch ß erzeugendes Element von Z, weil sowohl der
Pang von (ct) wie der von (/?) gleich dem Grade der Ordnung von
a ist.
Aus diesen Überlegungen ergibt sich:
Satz 14. Zwei zyklische Gruppen sind dann und nur
dann isomorph, wenn sie gleiche Ordnung besitzen. Es
gibt stets zyklische Gruppen gegebener Ordnung.
Eines Beweises bedarf nur noch der letzte Teil der Behauptung.
Es sei g (x') = xn — a1xn~1 — ... an. Dann erhält man eine Gruppe
Z = (ct) mit der Ordnung g (#), indem man die Anwendung von 0, 02...
auf ct folgendermaßen definiert: ct, 0-ct,... 0W_1-ct sollen linear unab-
hängig sein, hingegen soll die Gleichung 0n • a = a± ■ 0n~
bestehen.
Satz 15a. Jede E. T. G. stellt die direkte Summe solcher
zyklischer Gruppen dar, deren Ordnungen Potenzen irre-
duzibler Polynome sind.
ct) Es sei g {x~) — g1(x')ri • g2(x')r2 •.. .g^xys, die Ordnung der ge-
gebenen Gruppe A, wobei die gi(x) teilerfremde irreduzible Polynome
bedeuten. Daun gilt eine Gleichung A = {(Ali A2, ...As)) wobei die
Ordnung von A j gerade gleich gi(x)ri ist (Beweis im wesentlichen ge-
rade so wie bei dem entsprechenden Satz der g. e. A. G.).
Die Ordnung ist hier aus Zweckmäßigkeitsgründen anders definiert als
in der gewöhnlichen Gruppentheorie. Der Ordnung einer e. A. G. im üblichen
Sinne entspricht bei uns der Rang.