Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Wolfgang Krull:

ß) Eine Gruppe A, deren Ordnung Potenz einer irreduzibeln
Funktion ist, läßt sich als direkte Summe zyklischer Gruppen dar-
stellen.
Beweis wieder nach dem Vorbild der Theorie der e. A. G.! Man
greift aus A zunächst ein Element ax von möglichst hoher Ordnung
und die durch ar erzeugte Gruppe Zx — (04) heraus. Dann wählt man
in der Gruppe A1 = A\Z1 eine Restklasse a2 von möglichst hoher
Ordnung, und zeigt, daß in dieser Restklasse ein Repräsentant a2 auf-
tritt, für den (a2) = Z2 zu Zy elementefremd ausfällt, so daß also A
die Gruppe ((Zv Z2)) enthält usw.
Satz 15b. Sieht man isomorphe Gruppen als nicht ver-
schieden an, so ist die Zerlegung von Satz 15a eindeutig
bestimmt.
Zum Beweise vgl. den entsprechenden Eindeutigkeitsbeweis in der
Theorie der gewöhnlichen e. A. G., etwa bei A. Speiser: Gruppen von
endlicher Ordnung (Berlin bei Springer 1923) § 14 p. 30ff.
Aus Satz 15 b folgt, daß die Ordnungen der zyklischen Summanden
bei einer Zerlegung von A im Sinne von Satz 15 a eindeutig bestimmt
sind. Sie sollen als die „Polynominvarianten von A“ bezeichnet
werden. Dann ergibt sich durch Zusammenfassung der Ergebnisse
von Satz 14—15 das Hauptresultat:
Satz 16. Zwei E. T. G. sind dann und nur dann isomorph,
wenn sie in ihren Polynominvarianten übereinstimmen.
Es gibt stets E. T. G. mit vorgegebenen Polymonin Varianten.
Satz 17. Eine zyklische Gruppe Z, deren Ordnung
die r-Potenz eines irreduzibeln Polynoms g(%) darstellt,
besitzt nur eine einzige, mit der vorderen und hinteren
LoEWYschen Kr. zusammenfallende JoRDANsche Kr., und
zwar hat diese die Gestalt Z=ZAZ2...Zr, wobei Zi eine
zyklische Gruppe der Ordnung g (x) bedeutet.
Zum Beweise sei nur bemerkt, daß er unmittelbar aus der folgenden
Tatsache abgeleitet werden kann: Die gegebene Gruppe Z = (a) besitzt
als einzige Untergruppen die Gruppen Z® = (g (%)*• a) (i=0, l...r)
von den bzw. Ordnungen g
Aus Satz 15 und 17 schließt man:
Eine zyklische Gruppe ist dann und nur dann irreduzibel, wenn
ihre Ordnung ein irreduzibles Polynom ist.
Eine zyklische Gruppe ist dann und nur dann zerlegbar, wenn
ihre Ordnung als Produkt teilerfremder Faktoren darstellbar ist. Die