Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Wolfgang Krull:

weil man so die bekannten Sätze in der einfachsten Formulierung er-
hält. Man braucht dazu nach dem Dargelegten nur die folgende Fest-
setzung.
Der E. T. G. A, deren Operatorenbereich aus den Poly-
nomen in 0 besteht, soll diejenige Einzelmatrizenklasse
zu geordnet werden, die durch Anwendung von 0 auf die
verschiedenen Basen von A entsteht.
Im Anschluß an Herrn Loewy werde unter einer „Begleit-

010.0
00 1.0

matrix“1) eine Matrix von der speziellen Gestalt A* = .

0 0 0.1
Cl.nOJn—1 • •

verstanden, das Polynom xn — —... — an werde als die „charakte-
ristische Funktion“ von A* bezeichnet. A* ist ersichtlich durch seine
charakteristische Funktion eindeutig bestimmt.
Satz 19. Eine Matrizenklasse, die eine Begleitmatrix
enthält, entspricht einer zyklischen E. T. G. Umgekehrt
tritt in der zu einer zyklischen Gruppe gehörigen Ma-
trizenklasse stets als Normalform eine einzige Begleit-
matrix auf, nämlich diejenige, deren charakteristische
Funktion gleich der Ordnung der zugehörigen Gruppe ist.
Beweis mühelos aus der besonderen Gestalt der Begleitmatrizen
sowie aus der bei Satz 14 gemachten Bemerkung.
Mit Hilfe der Definition der Komplexzerlegbarkeit sowie des Zu-
satzes zu Satz 17 schließt man weiter:
E i n e B e g 1 e i t m a t r i x i s t d a n n und n u r d a n n u n z e r 1 e g b a r,
d. h. sie bestimmt eine unzerlegbare Klasse, wenn ihre
charakteristische Funktion Potenz eines irreduzibeln
Polynoms ist.
Satz 20. Jede Matrizenklasse enthält eine bis auf die
Reihenfolge der A*i eindeutig bestimmte Normalform


, bei der die diejenigen unzerlegbaren Begleit-

matrizen bedeuten, deren charakteristische Funktionen
die Ordnungen der unzerlegbaren zyklischen Summanden
der zugehörigen E. T. G. liefern.
9 Sitz.-Ber. d. Heidelberger Akademie 1918 5. Abhandlung p. 3; Math. Zeit-
schrift 7 (1920) p. 58. Herr Loewy bezeichnet dort — A* als Begleitmatrix.